《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

13. [2023郑州一中高一期中]已知函数$f(x)=mx^{2}+nx + 2(m,n\in\mathbf{R})$是定义在$[2m,m + 3]$上的偶函数，则函数$g(x)=f(x)+2x$在$[-2,2]$上的最小值为_______.

答案： -6 函数$f(x)=mx^{2}+nx + 2(m,n\in R)$是定义在$[2m,m + 3]$上的偶函数，故$f( -x)=f(x)$，$mx^{2}-nx + 2=mx^{2}+nx + 2$，即$2nx = 0$，$n = 0$，且$2m+m + 3 = 0$，即$m = -1$，所以$g(x)=f(x)+2x=-x^{2}+2x + 2=3-(x - 1)^{2}$，$x\in[ -2,2]$，则$g(x)_{min}=g( -2)=-( -2)^{2}+2\times( -2)+2 = -6$。

14. (探索创新)[2024上海市宜川中学月考]黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中被广泛应用. 其定义为：$R(x)=\begin{cases}\frac{1}{q},x=\frac{p}{q}(p\in\mathbf{Z},q\in\mathbf{N}^{*},p,q互质)\\1,x = 0\\0,x为无理数\end{cases}$，则$R(\frac{2}{3})=$_______；若函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且对任意$x$都有$f(2 - x)+f(x)=0$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=R(x)$，则$f(\frac{\sqrt{2}}{2})-f(-\frac{7}{5})=$_______.(本题第一空2分，第二空3分)

答案： $\frac{1}{3}$ $-\frac{1}{5}$ $\because R(x)=\begin{cases}\frac{1}{q},x=\frac{p}{q}(p\in Z,q\in N^{*},p,q互质)\\1,x = 0\\0,x为无理数\end{cases}$，$\therefore R(\frac{2}{3})=\frac{1}{3}$。$\because f(x)$是定义在$R$上的奇函数，且对任意$x$都有$f(2 - x)+f(x)=0$，$\therefore f(2 - x)=f( -x)$，$\therefore f(x + 2)=f(x)$。$\because$当$x\in[0,1]$时，$f(x)=R(x)$，故$f(\frac{\sqrt{2}}{2})-f( -\frac{7}{5})=0 - f( -\frac{7}{5}+2)= -f(\frac{3}{5})=-\frac{1}{5}$。

15. (13分)[2023陕西省铜川市高一期末]已知函数$f(x)=x^{2}-2x + 2$.
(1)画出$f(x)$的图象，并根据图象写出$f(x)$的单调递增区间和单调递减区间；
(2)当$x＞0$时，求函数$y=\frac{f(x)}{x}$的最小值，并求$y$取最小值时$x$的值.(结果保留根号)

答案：
【解析】
(1)函数$f(x)=x^{2}-2x + 2=(x - 1)^{2}+1$，图象如图所示： $f(x)$的单调递增区间为$[1, +\infty)$，$f(x)$的单调递减区间为$( -\infty,1]$。（注：写成$(1, +\infty)$，$( -\infty,1)$也可以）
(2)当$x＞0$时，$y=\frac{f(x)}{x}=\frac{x^{2}-2x + 2}{x}=x+\frac{2}{x}-2\geq2\sqrt{2}-2$，当且仅当$x=\sqrt{2}$时等号成立， $\therefore y=\frac{f(x)}{x}$的最小值为$2\sqrt{2}-2$，$y$取最小值时$x=\sqrt{2}$。