《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

6.[2024辽宁省大连市高一期末]从甲地到乙地的距离为240 km，经过多次试验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度V(单位：km/h，0≤V≤120)的关系式为Q = 0.000 026V³ - 0.004 16V² + 0.291 475V，从甲地到乙地这辆车的总耗油量最少时，其速度V为 ( )
A.60 km/h
B.80 km/h
C.100 km/h
D.110 km/h

答案： 由题意可得总耗油量为$f(V)=Q\times\frac{240}{V}=(0.000 026V^{3}-0.004 16V^{2}+0.291 475V)\frac{240}{V}=240(0.000 026V^{2}-0.004 16V + 0.291 475)$，由于$f(V)$的图象是开口向上的二次函数图象的一部分，且二次函数的图象的对称轴为$V=\frac{0.004 16}{2\times0.000 026}=80\in[0,120]$，故速度$V$为80 km/h时，总耗油量最少.故选B.

7.[2024四川省攀枝花市高一期末]市场调查机构通过大数据统计发现：一棵某种水果树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足关系$w = 4-\frac{3}{x + 1}$，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本(如人工费等)2x百元.已知这种水果的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为f(x)(单位：百元)，则f(x)有 ( )
A.最小值91
B.最大值91
C.最小值43
D.最大值43

答案： 利用均值不等式求最值 思路导引：由题意可知，$f(x)=16(4-\frac{3}{x + 1})-3x=64-(\frac{48}{x + 1}+3x)(0\leq x\leq5)$，再利用均值不等式求最值即可. 由题意可知，$f(x)=16w - x - 2x=16(4-\frac{3}{x + 1})-3x=64-\frac{48}{x + 1}-3x=64-(\frac{48}{x + 1}+3x)(0\leq x\leq5)$， $\because\frac{48}{x + 1}+3x=\frac{48}{x + 1}+3(x + 1)-3\geq2\sqrt{\frac{48}{x + 1}\cdot3(x + 1)}-3=21$，当且仅当$\frac{48}{x + 1}=3(x + 1)$，即$x = 3$时，等号成立， $\therefore$当$x = 3$时，$f(x)$取得最大值，最大值为$64 - 21 = 43$.故选D.

8.[2023复旦附中高一期末改编]学校某研究性学习小组在对学生上课时注意力集中情况的调查研究中，发现在40 min的一节课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满足如图所示的图象.当x∈[0，12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A(10，80)，点B(12，78)；当x∈[12，40]时，图象是线段BC，其中C(40，50).根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则老师安排核心内容的时间段应为 ( )

A.(5，30)
B.(5，28)
C.(4，28)
D.(2，20)

答案： 当$x\in[0,12]$时，设$y = a(x - 10)^{2}+80$，将$(12,78)$代入得$a = -\frac{1}{2}$，则$y = -\frac{1}{2}(x - 10)^{2}+80$； 当$x\in[12,40]$时，设$y = kx + b$，将$(12,78)$，$(40,50)$代入得$\begin{cases}78 = 12k + b\\50 = 40k + b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 1\\b = 90\end{cases}$，则$y = - x + 90$. 令$\begin{cases}0\leq x\leq12\\-\frac{1}{2}(x - 10)^{2}+80\gt62\end{cases}$或$\begin{cases}12\lt x\leq40\\- x + 90\gt62\end{cases}$，得$4\lt x\lt28$，则老师安排核心内容的时间段应为$(4,28)$.故选C.

9.[2024平罗中学高一月考]某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产100台时又需可变成本0.25万元，市场对此机器的年需求量为500台，销售收入(单位：万元)为$R(t)=5t-\frac{1}{2}t^{2}$，其中t是机器售出的数量(单位：百台，0≤t≤5)，设年产量为x(单位：百台)，则下列说法正确的是 ( )
A.利润y关于年产量x的函数为$y=\begin{cases}-0.5x^{2}+4.75x - 0.5,0\leqslant x\leqslant 5\\ 12 - 0.25x,x＞5\end{cases}$
B.当年产量为475台时企业所得的利润最大，为$\frac{345}{32}$万元
C.当年所得利润为7万元时，年产量为200台
D.企业不亏本的最大年产量为500台

答案： A(√)当$0\leq x\leq5$时，利润为$y = 5x-\frac{1}{2}x^{2}-0.25x - 0.5=-0.5x^{2}+4.75x - 0.5$，当$x＞5$时，$y = R(5)-0.25x - 0.5 = 12 - 0.25x$； B(√)当$0\leq x\leq5$时，$y=-0.5x^{2}+4.75x - 0.5=-\frac{1}{2}(x-\frac{19}{4})^{2}+\frac{345}{32}$，故当$x=\frac{19}{4}$时，$y$有最大值$\frac{345}{32}$，当$x＞5$时，$y = 12 - 0.25x＜12-\frac{5}{4}=\frac{344}{32}$，故当年产量为$\frac{19}{4}\times100 = 475$台时，利润最大，为$\frac{345}{32}$万元； C(×)当$0\leq x\leq5$时，令$y=-0.5x^{2}+4.75x - 0.5 = 7$，得$x = 2$，当$x＞5$时，令$y = 12 - 0.25x = 7$，得$x = 20$； D(×)不亏本即利润$y\geq0$，当$x＞5$时，令$12 - 0.25x\geq0$，得$x\leq48$，即企业不亏本的最大年产量为4 800台.故选AB.