《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

16. (15分)某开发商计划2024年在某湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2024年有$x$万名游客，则需另投入成本$R(x)$万元，且$R(x)=\begin{cases}50,0 ＜ x\leq5\\x^{2}+40x - 200,5 ＜ x\leq20\\81x+\frac{1600}{x}-850,x ＞ 20\end{cases}$. 已知该游玩项目的每张门票售价为80元.
(1)求2024年该项目的利润$W(x)$(万元)关于游客数量$x$(万人)的函数关系式(利润 = 销售额 - 成本)；
(2)当2024年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？

答案： 【解析】
(1)由题意可得， $W(x)=\begin{cases}80x - 400 - 50,0 ＜ x\leq5\\80x - 400-(x^{2}+40x - 200),5 ＜ x\leq20\\80x - 400-(81x+\frac{1600}{x}-850),x ＞ 20\end{cases}$， 即$W(x)=\begin{cases}80x - 450,0 ＜ x\leq5\\-x^{2}+40x - 200,5 ＜ x\leq20\\-x-\frac{1600}{x}+450,x ＞ 20\end{cases}$。 (6分)
(2)当$0 ＜ x\leq5$时，$W(x)\leq W(5)= - 50$； 当$0 ＜ x\leq20$时，$W(x)\leq W(20)=200$； 当$x ＞ 20$时，由均值不等式知$x+\frac{1600}{x}\geq80$，当且仅当$x=\frac{1600}{x}$，即$x = 40$时等号成立，故$W(x)\leq W(40)= - 80 + 450 = 370$。 综上，游客数量为40万人时利润最大，最大利润为370万元。 (15分)

17. (15分)函数$f(x)=\frac{ax - b}{9 - x^{2}}$是定义在$( -3,3)$上的奇函数，且$f(1)=\frac{1}{8}$.
(1)确定$f(x)$的解析式；
(2)判断$f(x)$在$( -3,3)$上的单调性，并用定义证明.

答案： 【解析】
(1)由函数$f(x)=\frac{ax - b}{9 - x^{2}}$是定义在$( - 3,3)$上的奇函数知$f(0)=\frac{-b}{9}=0$，解得$b = 0$。 经检验，当$b = 0$时，$f(x)=\frac{ax}{9 - x^{2}}$是$( - 3,3)$上的奇函数，满足题意。 (3分) 又$f(1)=\frac{a}{9 - 1^{2}}=\frac{1}{8}$，解得$a = 1$， 故$f(x)=\frac{x}{9 - x^{2}},x\in( - 3,3)$。 (7分)
(2)$f(x)$在$( - 3,3)$上为增函数。证明如下： 在$( - 3,3)$内任取$x_{1},x_{2}$且$x_{1}＜x_{2}$，则$f(x_{2})-f(x_{1})=\frac{x_{2}}{9 - x_{2}^{2}}-\frac{x_{1}}{9 - x_{1}^{2}}=\frac{(x_{2}-x_{1})(9 + x_{1}x_{2})}{(9 - x_{2}^{2})(9 - x_{1}^{2})}$， 因为$x_{2}-x_{1}＞0,9 + x_{1}x_{2}＞0,9 - x_{1}^{2}＞0,9 - x_{2}^{2}＞0$， 所以$f(x_{2})-f(x_{1})＞0$， 即$f(x_{2})＞f(x_{1})$， 所以$f(x)$在$( - 3,3)$上为增函数。 (15分)