《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

18. (17分)(情境创新)[2023沈阳二中月考]喷绘在商业广告、宣传等领域应用广泛，喷绘画面是使用喷绘机打印出来的，喷绘机工作时相当于一条直线(喷嘴)连续扫过一张画布.一家广告公司在一个等腰梯形$OABC$的画布上使用喷绘机印刷广告，画布的底角为$45^{\circ}$，上底长2米，下底长4米，如图所示，记梯形$OABC$位于直线$x = t(0＜t\leq4)$左侧的图形(阴影部分)的面积为$f(t)$.
(1)试求函数$f(t)$的解析式；
(2)定义“$\frac{f(t)}{t}$”为“平均喷绘率”，求$g(t)=\frac{f(t)}{t}$的峰值(即最大值).

喷绘机

答案： 【解析】
(1)由题意知梯形$OABC$的高为$1$米， 当$0＜t\leq1$时，$f(t)=\frac{1}{2}\times t\times t=\frac{1}{2}t^{2}$， 当$1＜t\leq3$时，$f(t)=\frac{1}{2}\times1\times1+(t - 1)\times1=t-\frac{1}{2}$， 当$3＜t\leq4$时，$f(t)=\frac{1}{2}\times(2 + 4)\times1-\frac{1}{2}\times(4 - t)\times(4 - t)=-\frac{1}{2}t^{2}+4t - 5$， 综上所述，$f(t)=\begin{cases}\frac{1}{2}t^{2},0＜t\leq1\\t-\frac{1}{2},1＜t\leq3\\-\frac{1}{2}t^{2}+4t - 5,3＜t\leq4\end{cases}$。
(2)第一步：求出$g(t)$的解析式 $g(t)=\frac{f(t)}{t}=\begin{cases}\frac{1}{2}t,0＜t\leq1\\1-\frac{1}{2t},1＜t\leq3\\-\frac{1}{2}t + 4-\frac{5}{t},3＜t\leq4\end{cases}$。 第二步：分情况讨论分段函数$g(t)$在各个区间的最大值 当$0＜t\leq1$时，$g(t)=\frac{1}{2}t$单调递增，故$g(t)_{max}=g(1)=\frac{1}{2}$； 当$1＜t\leq3$时，$g(t)=1-\frac{1}{2t}$单调递增，故$g(t)_{max}=g(3)=1-\frac{1}{2\times3}=\frac{5}{6}$； 当$3＜t\leq4$时，$g(t)=-\frac{1}{2}t + 4-\frac{5}{t}=4-\frac{1}{2}(t+\frac{10}{t})$， 因为$3＜t\leq4$，所以$t+\frac{10}{t}\geq2\sqrt{10}$（当且仅当$t=\sqrt{10}\in(3,4]$时取等号）， 故$g(t)_{max}=g(\sqrt{10})=4-\sqrt{10}$。 第三步：比较$g(t)$在各个区间的最大值，确定$g(t)$的峰值 因为$4-\sqrt{10}＞\frac{5}{6}＞\frac{1}{2}$，所以$g(t)$的峰值为$4-\sqrt{10}$。 名师点津 名师教方法 本题第
(2)问也可通过画出$g(t)$的图象确定$g(t)$的峰值。