《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

19. (17分) (探索创新) [2023北京四中模拟]给定正整数$k\geq2$,设集合$M = \{(x_{1},x_{2},\cdots,x_{k})|x_{i}\in \{0,1\},i = 1,2,\cdots,k\}$.对于集合$M$的子集$A$,若任取$A$中两个不同元素$(y_{1},y_{2},\cdots,y_{k})$,$(z_{1},z_{2},\cdots,z_{k})$,有$y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{k}=z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{k}$,且$y_{1}+z_{1},y_{2}+z_{2},\cdots,y_{k}+z_{k}$中有且只有一个为2,则称$A$具有性质$P$.
(1)当$k = 2$时,判断$A = \{(1,0),(0,1)\}$是否具有性质$P$；(结论无需证明)
(2)当$k = 3$时,写出一个具有性质$P$的集合$A$；
(3)当$k = 4$时,求证：若$A$中的元素个数为4,则$A$不具有性质$P$.

答案：
(1)根据题设定义可知$A = \{(1,0),(0,1)\}$不具有性质$P$.
(2)当$k = 3$时,令$A = \{(1,1,0),(1,0,1)\}$, 则$1 + 1 + 0 = 1 + 0 + 1$,且$1 + 1$,$1 + 0$,$0 + 1$中有且只有一个为$2$,满足性质$P$.
(3)当$k = 4$时,若$A$中的元素个数为$4$,假设$A$具有性质$P$,即任取$A$中两个不同元素$(y_1,y_2,y_3,y_4)$,$(z_1,z_2,z_3,z_4)$, 有$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = z_1 + z_2 + z_3 + z_4$, ① $y_1 + z_1$,$y_2 + z_2$,$y_3 + z_3$,$y_4 + z_4$中有且只有一个为$2$. ② 设$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = m$,则$m\in\{0,1,2,3,4\}$. 当$m = 1$时,由①得$A = \{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}$,不满足②,矛盾. 当$m = 2$时,由①得$A\subseteq\{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)\}$, 由②得$(1,1,0,0)$与$(0,0,1,1)$不同时在$A$中;$(1,0,1,0)$与$(0,1,0,1)$不同时在$A$中;$(1,0,0,1)$与$(0,1,1,0)$不同时在$A$中,所以$A$中元素个数至多为$3$,矛盾. 当$m = 3$时,由①得$A = \{(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)\}$,不满足②,矛盾. 当$m = 0$或$m = 4$时,不满足$A$中的元素个数为$4$,矛盾. 所以假设不成立，即$A$不具有性质$P$.