《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

19. (17分) [2024新余一中高一开学考试]记关于$x$的方程$|x^{2}+ax + b| = 2$的解集为$M$，其中$a,b\in \mathbf{R}$.
(1)求$M$恰有3个元素的充要条件；
(2)在(1)的条件下，试求：以$M$中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件.

答案： 【解析】
(1)原方程等价于x² + ax + b = 2或x² + ax + b = - 2， 即x² + ax + b - 2 = 0或x² + ax + b + 2 = 0， 由于Δ1 = a² - 4b + 8 ＞ a² - 4b - 8 = Δ2， 所以当Δ2 = 0时，M恰有3个元素，即M恰有3个元素的充要条件是a² - 4b = 8。（8分）
(2)必要性：由
(1)知，方程x² + ax + $\frac{a²}{4}$ - 4 = 0或x² + ax + $\frac{a²}{4}$ = 0， 两个方程的三个根分别为 - $\frac{a}{2}$ - 2, - $\frac{a}{2}$ + 2, - $\frac{a}{2}$， 若它们是直角三角形的三边长，则(- $\frac{a}{2}$)² + (- $\frac{a}{2}$ - 2)² = (- $\frac{a}{2}$ + 2)²，且 - $\frac{a}{2}$ - 2 ＞ 0， 解得a = - 16, b = 62。（14分） 充分性：若a = - 16, b = 62，可解得M = {6, 8, 10}，以6, 8, 10为边长的三角形恰为直角三角形。 所以a = - 16, b = 62为所求的充要条件。（17分）