《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

12.不等式$|x| ＞ \frac{4}{x}$的解集是_______.

答案： $(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$ 原不等式可变形为 $\begin{cases}x＞0\\x＞\frac{4}{x}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x＜0\\-x＞\frac{4}{x}\end{cases}$。由 $\begin{cases}x＞0\\x＞\frac{4}{x}\end{cases}$，解得 $x ＞ 2$；由 $\begin{cases}x＜0\\-x＞\frac{4}{x}\end{cases}$，解得 $x ＜ 0$。所以原不等式的解集为 $(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$。

13.(数学文化)程大位是我国明代著名数学家、珠算发明家.其杰作《算法统宗》里的一道题：平地秋千未起，扳绳离地一尺，送行二步恰竿齐，五尺板高离地.仕女佳人争蹴，终朝语笑欢戏，良工高士请言知，借问索长有几？将其译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步(古人将一步算作五尺)即10尺，此时踏板升高离地5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，则绳索的长为_______尺.

答案： 14.5 根据题意，抽象成如图所示的几何图形，则 $DF = 1$，$BC = 10$，$CD = 5$，设绳索长度 $AB(AF)$ 为 $x$ 尺，则秋千被向前推 10 尺时，绳索顶端距踏板的竖直距离 $AC$ 为 $(x - 5 + 1)$ 尺，此时 $AC$，$BC$，$AB$ 刚好构成一直角三角形，则根据勾股定理可列方程为 $10^{2}+(x - 5 + 1)^{2}=x^{2}$，解得 $x = 14.5$，即绳索长度为 14.5 尺。

14.(综合运用)若实数$x_{1}$，$x_{2}$为方程$x^{2} - 2mx + m + 6 = 0$的两根，则实数$m$的取值范围是_______，$(x_{1} - 2)^{2} + (x_{2} - 2)^{2}$的最小值是_______.(本题第一空2分，第二空3分)

答案： $m\leqslant - 2$ 或 $m\geqslant 3$ 2 由题意知，$\Delta=(-2m)^{2}-4(m + 6)\geqslant0$，解得 $m\leqslant - 2$ 或 $m\geqslant 3$。$x_{1}+x_{2}=2m$，$x_{1}x_{2}=m + 6$，令 $y=(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-2)^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4(x_{1}+x_{2})+8=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-4(x_{1}+x_{2})+8=(2m)^{2}-2(m + 6)-8m + 8 = 4m^{2}-10m - 4 = 4(m-\frac{5}{4})^{2}-\frac{41}{4}$，又 $m\leqslant - 2$ 或 $m\geqslant 3$，所以当 $m = 3$ 时，$y$ 取得最小值，$y_{min}=2$。

15.(13分)若不等式$ax^{2} + bx - 3 ＞ 0$的解集是$\{x\mid\frac{1}{2} ＜ x ＜ \frac{3}{2}\}$.
(1)求实数$a$，$b$的值；
(2)求不等式$\frac{ax + 1}{bx - 1} ＞ 0$的解集.

答案： 【解析】
(1) 因为不等式 $ax^{2}+bx - 3＞0$ 的解集是 $\{x|\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}\}$，所以方程 $ax^{2}+bx - 3 = 0$ 的两个根为 $\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$，且 $a ＜ 0$，所以由根与系数的关系可得 $\begin{cases}\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=-\frac{b}{a}\\\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}=\frac{-3}{a}\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a=-4\\b = 8\end{cases}$。（6 分）
(2) 由
(1)可得不等式 $\frac{ax + 1}{bx - 1}＞0$ 为不等式 $\frac{-4x + 1}{8x - 1}＞0$，则有 $(-4x + 1)(8x - 1)＞0$，即 $(4x - 1)(8x - 1)＜0$，解得 $\frac{1}{8}＜x＜\frac{1}{4}$，所以该不等式的解集为 $(\frac{1}{8},\frac{1}{4})$。（13 分）