《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

18.(17分)[2024合肥一中高一期末]近年来，合肥市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数.春节将至，为了提升人们的乘车体验感，合肥某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间间隔t(单位：min)满足3≤t≤18，t∈N*，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤18时地铁可达到满载状态，载客量为1 250人，当3≤t ＜ 10时，载客量会减少，减少的人数与(11 - t)的平方成正比，且发车时间间隔为3 min时载客量为610人，记地铁载客量为g(t).
(1)求g(t)的解析式；
(2)经过对该线路的数据分析，得出市民乘车体验感指数Q与发车时间间隔t之间的函数关系$Q(t)=\frac{6g(t)-2 400 - 360}{t}$，体验感指数越高，乘车体验感就越好，问：当发车时间间隔为多少时，市民乘车体验感最好？

答案：
(1)由题意可设$g(t)=\begin{cases}1250 - k(11 - t)^{2},3\leq t\lt10(t\in N)\\1250,10\leq t\leq18(t\in N)\end{cases}$（$k$为常数）， 因为$g(3)=1250 - k(11 - 3)^{2}=1250 - 64k = 610$，所以$k = 10$， 所以$g(t)=\begin{cases}-10t^{2}+220t + 40,3\leq t\lt10(t\in N)\\1250,10\leq t\leq18(t\in N)\end{cases}$.
(2)由$Q(t)=\frac{6g(t)-2400 - 360}{t}$，结合
(1)可知， $Q(t)=\begin{cases}\frac{6(-10t^{2}+220t + 40)-2400 - 360}{t},3\leq t\lt10(t\in N)\\\frac{6\times1250 - 2400 - 360}{t},10\leq t\leq18(t\in N)\end{cases}$ 整理得$Q(t)=\begin{cases}960 - 60(t+\frac{36}{t}),3\leq t\lt10(t\in N)\\\frac{5100}{t}-360,10\leq t\leq18(t\in N)\end{cases}$ ①当$3\leq t\lt10$，$t\in N$时，$Q(t)=960 - 60(t+\frac{36}{t})\leq960 - 60\times2\sqrt{t\times\frac{36}{t}}=960 - 60\times12 = 240$， 当且仅当$t = 6$时等号成立； ②当$10\leq t\leq18$，$t\in N$时，$Q(t)=\frac{5100}{t}-360$在$[10,18]$上单调递减， 即当$t = 10$时，$Q(t)$取最大值150. 由①②可知，当发车时间间隔为6 min时，市民乘车体验感最好.