《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

18. (17分)(情境创新)[2024雅安中学高一入学考试]作为传统节日玩具之一的走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日.灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动.轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图象便不断走动，因多在灯各个面上绘制古代武将骑马的图画，在灯转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯.现打算做一个体积为$96\ 000\ cm^{3}$的如图所示的长方体状的走马灯(题中不考虑木料的粗细).
(1)若底面大矩形的周长为160 cm，当底面长、宽各为多少时，底面面积最大?
(2)若灯笼高为40 cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面长、宽各为多少时，框架用料最少?

答案： 【解析】如图，设大矩形的长为 $x$，宽为 $y$。 （1）依题意有 $2(x + y)=160$，即 $x + y = 80$，则底面面积 $S = xy\leqslant\frac{(x + y)^{2}}{4}=1600$，当且仅当 $x = y = 40$ 时取等号，所以当长、宽均为 40 cm 时，底面矩形面积最大。（8 分） （2）依题意有底面面积 $S = xy=\frac{96000}{40}=2400$，框架用料最少等价于底面用料 $2x + 3y$ 最小，$2x + 3y\geqslant2\sqrt{6xy}=240$，当且仅当 $2x = 3y$，即 $y = 40$，$x = 60$ 时取等号，故当长为 60 cm，宽为 40 cm 时，框架用料最少。（17 分）

19. (17分)(思维创新)[2024华东政法大学附属松江高级中学高一期中]高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集$A,B$，定义$A\times B=\{(x,y)|x\in A且y\in B\}$，将$A\times B$称为“A与B的笛卡尔积”.
(1)若$A = \{ - 1,0,1\},B = \{ - 1,1\}$，求$A\times B$和$B\times A$.
(2)若集合$H$是有限集，将集合$H$的元素个数记为$|H|$.已知$|A_{1}\times A_{2}| = m^{3}(m\in\mathbf{N}^{*})$，且存在实数$a$满足$\sqrt{\frac{|A_{1}\times A_{1}|+|A_{2}\times A_{2}|}{|A_{2}\times A_{1}|}}\geqslant a$对任意$m\in\mathbf{N}^{*}$恒成立，求$a$的取值范围，并指明当$a$取到最值时$|A_{1}|$和$|A_{2}|$满足的关系式及$m$应满足的条件.

答案： 【解析】 （1）由题意可得，$A\times B=\{(-1,-1),(-1,1),(0,-1),(0,1),(1,-1),(1,1)\}$，$B\times A=\{(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(1,-1),(1,0),(1,1)\}$。（3 分） （2）设 $|A_{1}| = c$，$|A_{2}| = d$，$c,d\in\mathbf{N}^{*}$，则 $|A_{1}\times A_{2}| = |A_{2}\times A_{1}| = cd = m^{3}$，$|A_{1}\times A_{1}| = c^{2}$，$|A_{2}\times A_{2}| = d^{2}$，可得 $\sqrt{\frac{|A_{1}\times A_{1}|+|A_{2}\times A_{2}|}{|A_{2}\times A_{1}|}}=\sqrt{\frac{c^{2}+d^{2}}{cd}}=\sqrt{\frac{c}{d}+\frac{d}{c}}\geqslant\sqrt{2\sqrt{\frac{c}{d}\cdot\frac{d}{c}}}=\sqrt{2}$，当且仅当 $\frac{c}{d}=\frac{d}{c}$，即 $c = d$ 时，等号成立，所以实数 $a$ 的取值范围为 $\{a|a\leqslant\sqrt{2}\}$。若 $a$ 取到最大值，则 $c = d$，即 $|A_{1}| = |A_{2}|$，可得 $c^{2}=m^{3}$，即 $c=\sqrt{m^{3}}=(\sqrt{m})^{3}\in\mathbf{N}^{*}$，所以 $m = k^{2}$，$k\in\mathbf{N}^{*}$。（17 分）