《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

1. 下列函数中，既是奇函数又是R上的减函数的为 ( )
A. $f(x)=2x$
B. $f(x)= -2x^{2}$
C. $f(x)=\frac{3}{x}$
D. $f(x)= -x|x|$

答案： D 对于选项A：$f(x)=2x$是$\mathbf{R}$上的增函数，排除A；对于选项B：$f( -x)=-2( -x)^{2}=-2x^{2}=f(x)$，所以$f(x)=-2x^{2}$是偶函数，排除B；对于选项C：$f(x)=\frac{3}{x}$的定义域为$\{x|x\neq0\}$，排除C。故选D。

2. 已知函数$y = f(x)$是定义在R上的奇函数，且当$x ＜ 0$时，$f(x)=x^{2}+\frac{a}{x}$，若$f(3)= -8$，则$a =$ ( )
A. $-3$
B. 3
C. $\frac{1}{3}$
D. $-\frac{1}{3}$

答案： B $f(3)= - 8=-f( - 3)$（借助奇函数的定义计算），故$f( - 3)=8$，故$f( - 3)=( - 3)^{2}+\frac{a}{-3}=8$，解得$a = 3$。故选B。

3. “$a = 4$”是“$y = x^{2}-ax + 1$在$(2, +\infty)$上单调递增”的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： A 若函数$y = x^{2}-ax + 1$在$(2,+\infty)$上单调递增，则$\frac{a}{2}\leq2$，$\therefore a\leq4$，$\therefore$“$a = 4$”是“$y = x^{2}-ax + 1$在$(2,+\infty)$上单调递增”的充分不必要条件。故选A。

4. 函数$f(x)=\frac{x}{2x^{2}-2}$的图象大致为 ( )

答案： A 判断函数的图象，一般先看函数的奇偶性，再找特殊值进行排除。因为$f(x)=\frac{x}{2x^{2}-2}$定义域为$\{x|x\neq - 1且x\neq1\}$，$f( - x)=\frac{-x}{2x^{2}-2}=-f(x)$，所以$f(x)$为奇函数，则$f(x)$图象关于原点对称，故排除B，D，又$f(\frac{1}{2})=\frac{\frac{1}{2}}{2\times(\frac{1}{2})^{2}-2}=-\frac{1}{3}＜0$，故排除C。故选A。

5. 两个学校$W_{1}$，$W_{2}$开展节能活动，活动开始后两学校的用电量$W_{1}(t)$，$W_{2}(t)$与时间$t$(天)的关系如图所示，则一定有 ( )

A. $W_{2}$比$W_{1}$节能效果好
B. $W_{1}$的用电量在$[0,t_{0}]$上的平均变化率比$W_{2}$的小
C. 两学校节能效果一样好
D. $W_{1}$与$W_{2}$自节能以来用电量总是一样大

答案： B A(×)C(×) 由题图可知，当$t = 0$时，学校$W_{1}$的用电量高于$W_{2}$的，当$t = t_{0}$时，两学校的用电量相同，所以$W_{1}$比$W_{2}$节能效果好；B(√) 由题图可知，$\frac{W_{1}(t_{0})-W_{1}(0)}{t_{0}}＜\frac{W_{2}(t_{0})-W_{2}(0)}{t_{0}}$，则$W_{1}$的用电量在$[0,t_{0}]$上的平均变化率比$W_{2}$的小；D(×)由于曲线$W_{1}(t)$和曲线$W_{2}(t)$不重合，故$W_{1}$与$W_{2}$自节能以来用电量并非总一样大。故选B。

6. 函数$f(x)=x^{3}+x+\frac{a}{x}-8(a\in R)$在区间$[m,n]$上的最大值为10，则函数$f(x)$在区间$[ -n, -m]$上的最小值为 ( )
A. $-10$
B. $-8$
C. $-26$
D. 与$a$有关

答案： C 函数的奇偶性 + 最值 思路导引 设$g(x)=x^{3}+x+\frac{a}{x}$，先利用关系式$f(x)=g(x)-8$，求出$g(x)$在区间$[m,n]$上的最大值18，再利用$g(x)$是奇函数，得到$g(x)$在区间$[ - n, - m]$上的最小值 - 18，最后利用关系式$f(x)=g(x)-8$，得到$f(x)$在区间$[ - n, - m]$上的最小值。 设$g(x)=x^{3}+x+\frac{a}{x}$，则$f(x)=g(x)-8$，即$g(x)=f(x)+8$，故$g(x)$在区间$[m,n]$上的最大值为$g(x)_{\max}=f(x)_{\max}+8 = 18$，又$g( - x)= - g(x)$，即$g(x)$是奇函数，图象关于原点中心对称，所以$g(x)$在区间$[ - n, - m]$上的最小值为$g(x)_{\min}=-18=f(x)_{\min}+8$，故$f(x)$在区间$[ - n, - m]$上的最小值为$f(x)_{\min}=-26$。故选C。