《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

18. (17分) [2023重庆一中高一月考]已知全集$U = \{x\in \mathbf{N}|0 ＜ x ＜ 5\}$,集合$A = \{1,2,m^{2}\},B = \{x|x^{2} - 5x + 4 = 0\}$.
(1)求$\complement_{U}B$;
(2)若$a^{2} + 1\in \complement_{U}B$且$a\in U$,求实数$a$的值;
(3)设集合$C = A\cap(\complement_{U}B)$,若$C$的真子集共有3个,求实数$m$的值.

答案： [解析]　
(1)因为U=x∈N10＜x＜5|=|1,2,3,4}, B={x1x²−5x+4=0{={1,41, 所以B=2,3}.　　　　　　　　　　　　　　　　　(4分)
(2)若a²+1∈lB,则a²+1=2或α²+1=3,解得a=±1或a=±√2.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7分) 又a∈U,所以a=1,　　　　　　　　　　　　　　　　(9分)
(3)A={1,2,m²1,CB={2,3{, 当m²≠3时,C=|2|,此时集合C共有1个真子集,不符合题意;　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13分) 当m²=3时,C=2,3{,此时集合C共有3个真子集,符合题意综上所述,m=±√3.　　　　　　　　　　　　　　　(17分)

19. (17分) [2023洛阳一高高一期末]已知集合$A$满足以下条件:①$1\in A$;②若$a\in A$,则$\frac{a + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}a}\in A$.
(1)求证:集合$A$至少有三个元素;
(2)若集合$M = \complement_{\mathbf{R}}A$,写出属于集合$M$的两个元素,并说明理由.

答案： 元素与集合的关系 　思路导引　
(1)由已知条件可得,1∈A时,有−2−√3∈ 　,√3−2∈A,所以集合A至少有三个元素, 　2)当$\frac{a+√3}{1−√3a}$无意义时，可得$\frac{√3}{3}$A,则−$\frac{√3}{3}$A,故属于 　集合M的两个元素可以是$\frac{1}{3}$,−$\frac{3}{3}$ [解析]　
(1)由1∈A,得$\frac{1+√3}{1−\sqrt{3}}$=−2−√3∈A,　　　　(2分) 则(−2−√3)+√3=√3−2∈A, 　1−√3×(−2−√3) 则1−√3$\sqrt{3}$−x2(+√3√3−2)=1∈A,..., 故集合A至少有三个元素　　　　　　　　　　　　(8分)
(2)当$\frac{a+√3}{1−√3a}$无意义时,α=$\frac{√3}{3}$,故$\frac{√3}{3}$A;　　　　　　(11分) 令a+=$\frac{√3}{3}$,解得α=−$\frac{√3}{3}$, 即当a=−时3,a1+−√√3a=$\frac{√3}{3}$A,故−$\frac{√3}{3}$A. 故属于集合M的两个元素可以是$\frac{√3}{3}$,−$\frac{√3}{3}$　　　　　(17分)