《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

18.(17分)［2023绍兴一中高一期末］设函数$f(x)=\frac{a}{x - 1}$.
(1)当$a＞0$时，根据定义证明函数$f(x)$在区间$(1 , +\infty)$上单调递减；
(2)设$g(x)=f(x)+ax - 3$，若$g(x)$在$(1 , +\infty)$上存在两个零点，求实数$a$的取值范围.

答案： 【解析】
(1) 任取 $x_{1},x_{2}\in(1,+\infty)$ 且 $x_{1}＜x_{2}$，则 $f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{a}{x_{1}-1}-\frac{a}{x_{2}-1}=\frac{a(x_{2}-1)-a(x_{1}-1)}{(x_{1}-1)(x_{2}-1)}=\frac{a(x_{2}-x_{1})}{(x_{1}-1)(x_{2}-1)}$。 $\because1＜x_{1}＜x_{2}$，$\therefore x_{1}-1＞0$，$x_{2}-1＞0$，$x_{2}-x_{1}＞0$，又 $a＞0$，$\therefore f(x_{1})-f(x_{2})＞0$，即 $f(x_{1})＞f(x_{2})$，$\therefore f(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上单调递减。(7 分)
(2)$g(x)=\frac{a}{x - 1}+ax - 3$，$g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上存在两个零点等价于方程 $\frac{a}{x - 1}+ax - 3 = 0$，即 $ax^{2}-(a + 3)x+(a + 3)=0$ 在 $(1,+\infty)$ 上有 2 个相异实根，设 $h(x)=ax^{2}-(a + 3)x+(a + 3)$，显然 $a\neq0$。 当 $a＞0$ 时，$\begin{cases}\Delta＞0\\h(1)＞0\\\frac{a + 3}{2a}＞1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-3＜a＜1\\a＞0\\a＜3\end{cases}\Rightarrow0＜a＜1$；(12 分) 当 $a＜0$ 时，$\begin{cases}\Delta＞0\\h(1)＜0\\\frac{a + 3}{2a}＞1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-3＜a＜1\\a＜0\\a＞3\end{cases}\Rightarrow a\in\varnothing$。(15 分) 综上所述，$a$ 的取值范围为 $(0,1)$。(17 分)