《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

8. [2024岳阳一中高一期末]已知$m\in \mathbf{R},n\in \mathbf{R}$,若集合$\{m,\frac{n}{m},1\} = \{m^{2},m + n,0\}$,则$m^{2 025} + n^{2 025}$的值为 ( )
A. - 2
B. - 1
C. 1
D. 2

答案： B　两个集合中已经确定的元素分别是0和1,其中0比较特殊,故分析在另一个集合中谁是0.因为0∈{m,$\frac{n}{m}$,11,m≠0,所以$\frac{n}{m}$=0,故n=0,所以{mm²==m1+n,解得m=1或m=−1.注意还需代回去检验集合是否满足元素的互异性，当m=1时,不满足集合元素的互异性,故m=−1,m²⁰2+n²025= 　　　　　　　(−1)²⁰²⁵+0²=−1.故选B.

9. (教材变式) [2024南师附中高一期中]下列各个选项中,满足$\{x|x^{2} - 2x - 3 = 0\} \subseteq A\subsetneqq \{ - 1,0,1,3\}$的集合$A$有 ( )
A. $\{ - 1,3\}$
B. $\{ - 1,1\}$
C. $\{ - 1,0,3\}$
D. $\{ - 1,0,1,3\}$

答案： AC　因为|xlx²−2x−3=0{={−1,3{,所以{−1,3|⊆ A幂1−1,0,1,3{,所以A中一定有元素−1和3,故排除B,又因为A是−1,0,1,3|的真子集，故排除D.故选AC.

10. (数学文化) [2024孝感高中高一期中]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题:“今有物,不知其数.三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二. 问:物几何?”现有如下表示:已知$A = \{x|x = 3n + 2,n\in \mathbf{N}^{*}\},B = \{x|x = 5n + 3,n\in \mathbf{N}^{*}\},C = \{x|x = 7n + 2,n\in \mathbf{N}^{*}\}$,若$a\in (A\cap B\cap C)$,则下列选项中符合题意的整数$a$为 ( )
A. 23
B. 44
C. 68
D. 128

答案： AD　A(√)由23=3×7+2,得23∈A,由23=5×4+3,得23∈B,由23=7x3+2,得23∈C,因此23∈(A∩B∩C); B(×)由44=5×8+4,得44B;C(×)由68=7×9+5,得68C;D(√)由128=3×42+2,得128∈A,由128=5×25+3,得128∈B,由128=7×18+2,得128∈C,因此128∈(A∩B∩C).故选AD.

11. [2024佛山一中高一质量检测]给定数集$M$,若对于任意$a,b\in M$,有$a + b\in M$,且$a - b\in M$,则称集合$M$为闭集合,则下列说法不正确的是 ( )
A. 集合$M = \{ - 4, - 2,0,2,4\}$为闭集合
B. 正整数集是闭集合
C. 集合$M = \{n|n = 3k,k\in \mathbf{Z}\}$为闭集合
D. 若集合$A_{1},A_{2}$为闭集合,则$A_{1}\cup A_{2}$为闭集合

答案： ABD　对于选项A,当集合M=|−4,−2,0,2,4|时,2+4擘M,所以集合M不为闭集合,A说法不正确;对于选项B,设a,b是任意的两个正整数,当a＜b时,a−b＜0,a−b不是正整数,B说法不正确;对于选项C,当M=|nln=3k,k∈Z|时,设a=3k,b=3h,k,k∈Z,则a+b=3k+3k=3(k+k)∈M,a−b=3k−3k=3(k−k2)∈M,C说法正确;对于选项D,设A=|nln=3k,k∈Z|,A=|n1n=2k,k∈Z|,A,A均是闭集合,且3∈A,2∈A,而2+3(AUA),此时AUA 不为闭集合，D说法不正确.故选ABD.

12. [2024宝鸡中学模拟]若集合$A = \{x\in \mathbf{R}|ax^{2} - 2x + 1 = 0\}$中只有一个元素,则实数$a =$_______.

答案： 0或1　题中没有说方程αx²−2x+1=0为一元二次方程,要分α=0,a≠0两种情况讨论.当a=0时,由ax²−2x+1=0可得x=$\frac{1}{2}$,满足题意;当α≠0时,ax²−2x+1=0有两个相同的根,需满足A=(−2)²−4a=0,解得a=1.综上,实数a的值为0或1.

13. [2024丰城九中高一月考]已知集合$A = \{0,1,2,3\}$,集合$B = \{z|z = xy,x\in A,y\in A\}$,则集合$B$子集的个数为_______.

答案： 128　当x=0,y=0,1,2,3时,z=0;当x=1,y=0,1,2,3 时,z=0,1,2,3;当x=2,y=0,1,2,3時,z=0,2,4,6;当x=3,y=0,1,2,3时,z=0,3,6,9.所以z的所有取值为0,1,2,3,4,6,9,故B=|0,1,2,3,4,6,9|,共7个元素,所以子集的个数为2⁷=128.

14. [2024南昌一中高一月考]某网店统计连续三天售出商品的种类情况:第一天售出18种商品,第二天售出14种商品,第三天售出19种商品,前两天都售出的商品有5种,后两天都售出的商品有6种.则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有_______种,这三天售出的商品最少有_______种. (本题第一空2分,第二空3分)

答案：
13　27　因为前两天都售出的商品有5种，所以第一天售出但第二天没有售出的商品有18−5=13(种).同理由后两天都售出的商品有6种，得第三天售出的商品中有19−6=13 种第二天未售出，所以三天售出商品种数最少时，即第三天中这13种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的.用集合 A,B,C分别表示第一一三天售出的商品，则商品最少时，第三天售出的商品均为前两天售出的，故求解总种数只考虑集合A,B即可.涉及两天售出的商品种数，彼此之间有重叠，可 考虑画图分析,如图，此时商品总种数是13+5+9=27.