《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

17.(15分)[核心素养·数学运算]已知集合$P = \{x \in \mathbf{R}|x^{2} - 3x + b = 0\}$，$Q = \{x \in \mathbf{R}|(x + 1)(x^{2} + 3x - 4) = 0\}$.
(1)若$b = 4$，存在集合$M$使得$P\subsetneqq M\subsetneqq Q$，求这样的集合$M$；
(2)若集合$P$是集合$Q$的一个子集，求$b$的取值范围.

答案： [解析]　
(1)当$b = 4$时，方程$x^{2} - 3x + b = 0$的根的判别式$\Delta = (-3)^{2} - 4×1×4\lt 0$，所以$P = \varnothing$。　　　　　　(2分) 又$Q = \{x \in \mathbf{R}|(x + 1)(x^{2} + 3x - 4) = 0\} = \{-4,-1,1\}$， 故$P\subsetneqq Q$。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4分) 由已知，得$M$应是一个非空集合，且是$Q$的一个真子集，用列举法可得这样的集合$M$共有$6$个，分别为$\{-4\}$，$\{-1\}$，$\{-4,-1\}$，$\{-4,1\}$，$\{-1,1\}$。　　　　　　　　(6分)
(2)当$P = \varnothing$时，$P$是$Q$的一个子集，此时对于方程$x^{2} - 3x + b = 0$，有$\Delta = 9 - 4b\lt 0$，所以$b\gt \frac{9}{4}$。　　　　　　　　　(8分) 当$P\neq \varnothing$时，因为$Q = \{-4,-1,1\}$，所以当$-1\in P$时，$(-1)^{2} - 3×(-1) + b = 0$，即$b = -4$， 此时$P = \{x|x^{2} - 3x - 4 = 0\} = \{4,-1\}$，因为$4\notin Q$，所以$P$不是$Q$的子集；　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10分) 同理，当$-4\in P$时，$P = \{7,-4\}$，也不是$Q$的子集；　(12分) 当$1\in P$时，$P = \{1,2\}$，也不是$Q$的子集。　　　　　　(14分) 综上，满足条件的$b$的取值范围是$\{b|b\gt \frac{9}{4}\}$。　　　　(15分)