《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

19.(17分)(探索创新)对于由$n$个正整数构成的集合$A = \{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\}(n \in \mathbf{N}^{*},n\geq 3)$，如果去掉其中任意一个元素$a_{i}(i = 1,2,\cdots,n)$之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合$A$为“和谐集”.
(1)判断集合$\{1,2,3,4,5\}$是否是“和谐集”，并说明理由；
(2)求证：若集合$A$是“和谐集”，则集合$A$中元素个数为奇数.

答案： [解析]　
(1)当集合$\{1,2,3,4,5\}$去掉元素$2$时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况： $\{1,3\}$，$\{4,5\}$；$\{1,4\}$，$\{3,5\}$；$\{1,5\}$，$\{3,4\}$；$\{1\}$，$\{3,4,5\}$；$\{3\}$，$\{1,4,5\}$；$\{4\}$，$\{1,3,5\}$；$\{5\}$，$\{1,3,4\}$。　　　　　(3分) 经过计算可以发现每组两个集合的所有元素之和不相等，故集合$\{1,2,3,4,5\}$不是“和谐集”。　　　　　　　　　　(5分)
(2)设集合$A = \{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\}(n\in \mathbf{N}^{*},n\geq 3)$所有元素之和为$M$， 由题意可知$M - a_{i}(i = 1,2,\cdots,n)$均为偶数， 因此任意一个元素$a_{i}(i = 1,2,\cdots,n)$的奇偶性相同。　　(7分) 若$M$是奇数，则$a_{i}(i = 1,2,\cdots,n)$也都是奇数， 因为$M = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}$，所以$n$为奇数；　　　　　(10分) 若$M$是偶数，则$a_{i}(i = 1,2,\cdots,n)$也都是偶数， 设$a_{i} = 2b_{i}(i = 1,2,\cdots,n)$， 显然$\{b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\}$也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以得到各项都为奇数的“和谐集”， 此时各项的和也是奇数，所以$n$为奇数。　　　　　　(15分) 综上所述，若集合$A$是“和谐集”，则集合$A$中元素个数为奇数。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(17分)