《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

12. [2024青岛二中高一月考]在数轴上,点$B$在点$A$的右侧. 已知点$A$对应的数为$-1$,点$B$对应的数为$m$. 若在点$A,B$之间有一点$C$,点$C$到原点的距离为2,且$AC - BC = 2$,则$m$的值为_______.

答案： 3：当点$C$在原点的左侧时，则点$C$对应的数为$-2$，与题意矛盾；当点$C$在原点的右侧时，则点$C$对应的数为2，故$AC = 2 - (-1)=3$，$BC = m - 2$，由$AC - BC = 2$，即$3-(m - 2)=2$，解得$m = 3$。

13. [2024安庆一中高一期末]已知关于$x$的不等式$ax^{2} + bx ＞ c(x - 2)$的解集为$\{x|1 ＜ x ＜ 3\}$,则关于$x$的不等式$ax^{2} + bx + c ＜ 0$的解集为_______.

答案： $\{x|x ＜ 1或x ＞ \frac{3}{2}\}$：由已知，得不等式$ax^{2}+(b - c)x + 2c ＞ 0$的解集为$\{x|1 ＜ x ＜ 3\}$，故$a ＜ 0$，且$x_1 = 1$，$x_2 = 3$为方程$ax^{2}+(b - c)x + 2c = 0$的两根，所以$\begin{cases}-\frac{b - c}{a}=4 \\\frac{2c}{a}=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = -\frac{5}{2}a \\c=\frac{3}{2}a\end{cases}$，故不等式$ax^{2}+bx + c ＜ 0$为$ax^{2}-\frac{5}{2}ax+\frac{3}{2}a ＜ 0$，即$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{3}{2}＞0$，解得$x ＜ 1$或$x ＞ \frac{3}{2}$。

14. (综合运用)[2024杭州四中高一期末]若正实数$x,y$满足$(x - 1)(y - 4) = 4$,且$x + \frac{y}{4}\geq a^{2} - 3a$恒成立,则实数$a$的取值范围是_______.

答案： $\{a|-1\leq a\leq4\}$：均值不等式 + 一元二次不等式 思路导引：依题意可得$\frac{4}{y}+\frac{1}{x}=1$，利用乘“1”法及均值不等式求出$x+\frac{y}{4}$的最小值，即可得到$a^{2}-3a\leq4$，解此不等式即可得$a$的取值范围。 因为正实数$x,y$满足$(x - 1)(y - 4)=4$，即$xy = 4x + y$，所以$\frac{4}{y}+\frac{1}{x}=1$，所以$x+\frac{y}{4}=(x+\frac{y}{4})(\frac{1}{x}+\frac{4}{y})=2+\frac{4x}{y}+\frac{y}{4x}\geq2 + 2\sqrt{\frac{4x}{y}\cdot\frac{y}{4x}} = 4$，当且仅当$\frac{4x}{y}=\frac{y}{4x}$，即$y = 8$，$x = 2$时取等号。因为$x+\frac{y}{4}\geq a^{2}-3a$恒成立，所以$a^{2}-3a\leq4$，解得$-1\leq a\leq4$，即实数$a$的取值范围是$\{a|-1\leq a\leq4\}$。

15. (13分)[2023吉林一中高一期末]已知二次函数$y = x^{2} + mx + n(m ＞ 0,n ＞ 0)$.
(1)当$x = 1$时,$y = 2$,求$mn$的取值范围;
(2)当$x = 2$时,$y = 5$,求$\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$的最小值.

答案： 【解析】
(1) 因为当$x = 1$时，$y = 2$，所以$m + n = 1$，又$m ＞ 0$，$n ＞ 0$，所以$m + n\geq2\sqrt{mn}$，即$1\geq2\sqrt{mn}$，所以$\sqrt{mn}\leq\frac{1}{2}$，即$mn\leq\frac{1}{4}$，当且仅当$m = n=\frac{1}{2}$时等号成立。由题意可知$mn ＞ 0$，所以$mn$的取值范围是$0 ＜ mn\leq\frac{1}{4}$。
(2) 当$x = 2$时，$y = 5$，所以$4 + 2m + n = 5$，即$2m + n = 1$。因为$m ＞ 0$，$n ＞ 0$，所以$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=(\frac{1}{m}+\frac{2}{n})(2m + n)=4+\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}\geq4 + 2\sqrt{\frac{n}{m}\cdot\frac{4m}{n}} = 8$，当且仅当$\begin{cases}\frac{n}{m}=\frac{4m}{n} \\2m + n = 1\end{cases}$，即$m=\frac{1}{4}$，$n=\frac{1}{2}$时等号成立，所以$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值是8。

16. (15分)[2023慈溪中学高一阶段练习]设$y = ax^{2} + (1 - a)x + a - 2$.
(1)当$a ＞ 0$时,若$y = 0$的两个实数根一个比1小,一个比1大,求$a$的取值范围;
(2)解关于$x$的不等式$ax^{2} + (1 - a)x + a - 2 ＜ a - 1(a\in\mathbf{R})$.

答案： 【解析】
(1) 因为$y = ax^{2}+(1 - a)x + a - 2$，当$a ＞ 0$时，$y = 0$的两个实数根一个比1小，一个比1大，所以当$x = 1$时，$y ＜ 0$，即$\begin{cases}a + 1 - a + a - 2 ＜ 0 \\a ＞ 0\end{cases}$，解得$0 ＜ a ＜ 1$。
(2) 第一步：根据题意分解不等式 不等式$ax^{2}+(1 - a)x + a - 2 ＜ a - 1(a\in R)$，即$(ax + 1)(x - 1)＜0$。 第二步：分别讨论$a = 0$，$a ＞ 0$，$a ＜ 0$的情况，结合不等式的解法，可得所求解集 当$a = 0$时，原不等式即$x - 1 ＜ 0$，解得$x ＜ 1$，所以不等式的解集为$\{x|x ＜ 1\}$。 当$a ＞ 0$时，不等式即$(x+\frac{1}{a})(x - 1)＜0$，解得$-\frac{1}{a}＜x＜1$，所以不等式的解集为$\{x|-\frac{1}{a}＜x＜1\}$。 若$a ＜ 0$，不等式即$(x+\frac{1}{a})(x - 1)＞0$。 当$a = -1$时，不等式化为$(x - 1)^{2}＞0$，解得$x\neq1$，所以不等式的解集为$\{x|x\neq1\}$； 当$a ＜ -1$时，$1＞-\frac{1}{a}$，解得$x ＞ 1$或$x＜-\frac{1}{a}$，所以不等式的解集为$\{x|x ＞ 1或x＜-\frac{1}{a}\}$； 当$-1 ＜ a ＜ 0$时，$1＜-\frac{1}{a}$，解得$x ＜ 1$或$x＞-\frac{1}{a}$，所以不等式的解集为$\{x|x ＜ 1或x＞-\frac{1}{a}\}$。 第三步：确定不等式的解集 综上可得，当$a = 0$时，不等式的解集为$\{x|x ＜ 1\}$；当$a ＞ 0$时，不等式的解集为$\{x|-\frac{1}{a}＜x＜1\}$；当$a = -1$时，不等式的解集为$\{x|x\neq1\}$；当$a ＜ -1$时，不等式的解集为$\{x|x ＞ 1或x＜-\frac{1}{a}\}$；当$-1 ＜ a ＜ 0$时，不等式的解集为$\{x|x ＜ 1或x＞-\frac{1}{a}\}$。