《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

18.(17分)已知命题$p$：$\exists x\in[ - 1,1]$，$x^{2} - x - m\geq0$是假命题.
(1)求实数$m$的取值集合$B$；
(2)设不等式$(x - 3a)(x - a - 2) ＜ 0$的解集为$A$，若$A$是非空集合，且$x\in B$是$x\in A$的必要不充分条件，求实数$a$的取值范围.

答案： 【解析】
(1) 因为命题 $p:\exists x\in[-1,1],x^{2}-x - m\geqslant0$ 是假命题，所以命题 $\forall x\in[-1,1],x^{2}-x - m＜0$ 是真命题，所以 $m＞x^{2}-x$ 在 $x\in[-1,1]$ 上恒成立。（4 分）令 $y = x^{2}-x(-1\leqslant x\leqslant1)$，由二次函数的图象可知，当 $x=-1$ 时，$y_{max}=(-1)^{2}-(-1)=2$，所以 $m ＞ 2$，即 $m\in(2,+\infty)$，故 $B=(2,+\infty)$。（8 分）
(2) 因为 $x\in B$ 是 $x\in A$ 的必要不充分条件，所以集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集。（10 分）由
(1)得 $B=(2,+\infty)$，方程 $(x - 3a)(x - a - 2)=0$ 的根为 $x = 3a$ 或 $x = a + 2$。当 $3a＞a + 2$，即 $a＞1$ 时，由 $(x - 3a)(x - a - 2)＜0$ 得 $a + 2＜x＜3a$，则 $A=(a + 2,3a)$，所以 $a + 2\geqslant2$，则 $a\geqslant0$，故 $a＞1$；（12 分）当 $3a=a + 2$，即 $a = 1$ 时，由 $(x - 3a)(x - a - 2)＜0$ 得 $(x - 3)^{2}＜0$，无解，即 $A=\varnothing$，不满足题意；（14 分）当 $3a＜a + 2$，即 $a＜1$ 时，由 $(x - 3a)(x - a - 2)＜0$ 得 $3a＜x＜a + 2$，则 $A=(3a,a + 2)$，所以 $3a\geqslant2$，则 $a\geqslant\frac{2}{3}$，故 $\frac{2}{3}\leqslant a＜1$。（16 分）综上可得，实数 $a$ 的取值范围为 $\{a|\frac{2}{3}\leqslant a＜1或a＞1\}$。（17 分）