《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

16. (15分) [2023河北正定中学模拟]已知$p$：实数$x$满足$a ＜ x ＜ 4a$，其中$a ＞ 0$，$q$：实数$x$满足$2 ＜ x ＜ 4$.
(1)若$a = 1$，则$p$是$q$的什么条件？
(2)若$p$是$q$的必要条件，求$a$的取值范围.

答案： 充分、必要条件 **思路导引**
(1)找到p, q所表示的实数x对应的取值集合之间的包含关系，进而得到两者之间的关系。
(2)由p是q的必要条件，得到p, q所表示的实数x对应的取值集合之间的包含关系，进而求出参数a的范围。 **【解析】**
(1)由a = 1，得p:1 ＜ x ＜ 4，记集合A = {x|1 ＜ x ＜ 4}，q:2 ＜ x ＜ 4，记集合B = {x|2 ＜ x ＜ 4}。 因为B是A的真子集，所以p是q的必要不充分条件（注：必要条件也正确）。（7分）
(2)p:a ＜ x ＜ 4a，记集合M = {x|a ＜ x ＜ 4a}，q:2 ＜ x ＜ 4，记集合B = {x|2 ＜ x ＜ 4}， 因为p是q的必要条件， 所以B⊆M，即$\begin{cases}0 ＜ a≤2 \\ 4a≥4\end{cases}$，所以1≤a≤2。 所以a的取值范围为{a|1≤a≤2}。（15分）

17. (15分) [2024西工大附中高一月考]已知集合$A = \{x|2\leq x\leq7\}$，$B = \{x|-3m + 4\leq x\leq2m - 1\}$，且$B\neq\varnothing$.
(1)若$p$：$\forall x\in A,x\in B$是真命题，求实数$m$的取值范围；
(2)若$q$：$\exists x\in B,x\in A$是真命题，求实数$m$的取值范围.

答案： 【解析】
(1)由于p:∀x∈A, x∈B是真命题，所以A⊆B。（2分） 而B≠∅，所以$\begin{cases}2m - 1≥7 \\ - 3m + 4≤2 \\ - 3m + 4≤2m - 1\end{cases}$，解得m≥4，故m的取值范围为{m|m≥4}。（5分）
(2)因为B≠∅，所以 - 3m + 4≤2m - 1，解得m≥1。（7分） 由q为真命题，得A∩B≠∅。（9分） 当A∩B = ∅时， - 3m + 4 ＞ 7或2m - 1 ＜ 2，解得m ＜ $\frac{3}{2}$， 因为m≥1，所以当A∩B = ∅时，1≤m ＜ $\frac{3}{2}$（对于一些比较复杂、抽象、条件和结论之间关系不明确，难以从正面入手的数学问题，在解题时，可从问题的反面入手，探求已知和未知间的关系，这样能化难为易、化隐为显，从而将问题解决，这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化思想的体现）。（13分） 所以当A∩B≠∅时，m≥$\frac{3}{2}$， 故m的取值范围为{m|m≥$\frac{3}{2}$}。（15分）