《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

10. 如图，在平面直角坐标系中，直线$y = x + 2$与反比例函数$y = \frac{k}{x}(k\neq0)$的图象交于A，B两点，点A的横坐标为1.
(1)求k的值及点B的坐标.
(2)点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当$S_{\triangle BPO}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABO}$时，求PM的最小值.

答案：
【解】
(1)
∵直线 y = x + 2 与反比例函数 y = $\frac{k}{x}$(k≠0)的图象交于 A，B 两点，点 A 的横坐标为 1，
∴y_A = 1 + 2 = 3，
∴A(1,3)，
∴k = 1×3 = 3，
∴反比例函数的解析式为 y = $\frac{3}{x}$.
联立$\begin{cases}y = x + 2 \\y = \frac{3}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -3 \\y = -1\end{cases}$或$\begin{cases}x = 1 \\y = 3\end{cases}$，
∴B(-3,-1).
(2)
∵S_△BPO = $\frac{1}{2}$S_△ABO，
∴BP = AP.
∵A(1,3)，B(-3,-1)，
∴P(-1,1)，OA = $\sqrt{1^{2}+3^{2}}$ = $\sqrt{10}$ = OB，
∴OP⊥AB，
∴OP = $\sqrt{1^{2}+1^{2}}$ = $\sqrt{2}$，BP = $\sqrt{(\sqrt{10})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$ = 2$\sqrt{2}$.
如答图，当 PM⊥OB 时，PM 最短，

∴PM = $\frac{BP·OP}{OB}$ = $\frac{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$ = $\frac{2\sqrt{10}}{5}$.

11. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象交于$M(\frac{1}{2},4)$，N(n,1)两点.
(1)求反比例函数及一次函数的解析式.
(2)求△OMN的面积.
(3)若点P是y轴上一动点，连接PM，PN. 当PM + PN的值最小时，求点P的坐标.

答案：
【解】
(1)
∵M($\frac{1}{2}$,4)在反比例函数 y = $\frac{k}{x}$的图象上，
∴k = $\frac{1}{2}$×4 = 2，
∴反比例函数的解析式为 y = $\frac{2}{x}$.
∵N(n,1)在反比例函数 y = $\frac{2}{x}$上，
∴n = 2，
∴N(2,1).
设一次函数解析式为 y = ax + b，
∴$\begin{cases}\frac{1}{2}a + b = 4 \\2a + b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -2 \\b = 5\end{cases}$，
∴一次函数的解析式为 y = -2x + 5.
(2)如答图 1，设直线 l 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，

∵直线 l 的解析式为 y = -2x + 5，
∴A($\frac{5}{2}$,0)，B(0,5)，
∴AO = $\frac{5}{2}$，BO = 5，
∴S_△OMN = S_△AOB - S_△AON - S_△BOM = $\frac{1}{2}$×AO×BO - $\frac{1}{2}$×AO·y_N - $\frac{1}{2}$×BO·x_M = $\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×5 - $\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×1 - $\frac{1}{2}$×5×$\frac{1}{2}$ = $\frac{15}{4}$.
(3)如答图 2，作点 M 关于 y 轴的对称点 M′，连接 M′N 交 y 轴于点 P，则 PM + PN = PM′ + PN 的最小值等于 M′N 的长.

∵M($\frac{1}{2}$,4)与 M′关于 y 轴对称，
∴M′为(-$\frac{1}{2}$,4).
∵N(2,1)，设 M′N 的解析式为 y = cx + d，
∴$\begin{cases}-\frac{1}{2}c + d = 4 \\2c + d = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}c = -\frac{6}{5} \\d = \frac{17}{5}\end{cases}$，
∴直线 M′N 的解析式为 y = -$\frac{6}{5}$x + $\frac{17}{5}$.
令 x = 0，则 y = $\frac{17}{5}$，
∴P(0,$\frac{17}{5}$).

12. 如图，点A(-4,0.5)，B(-1,2)是一次函数$y = kx + b$与反比例函数$y = \frac{m}{x}(m\neq0,m＜0)$图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D.
(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?
(2)求一次函数的解析式及m的值.
(3)点P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标.

答案： 【解】
(1)-4＜x＜-1.
(2)
∵点 A(-4,0.5)，B(-1,2)在一次函数的图象上，
∴$\begin{cases}-4k + b = 0.5 \\-k + b = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2} \\b = \frac{5}{2}\end{cases}$，
∴一次函数的解析式为 y = $\frac{1}{2}$x + $\frac{5}{2}$.
把点 B(-1,2)代入 y = $\frac{m}{x}$，得 m = -1×2 = -2.
(3)设点 P 的坐标为(t,$\frac{1}{2}$t + $\frac{5}{2}$).
∵△PCA 和△PDB 面积相等，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×(t + 4) = $\frac{1}{2}$×1×(2 - $\frac{1}{2}$t - $\frac{5}{2}$)，
解得 t = -$\frac{5}{2}$，
∴点 P 的坐标为(-$\frac{5}{2}$,$\frac{5}{4}$).