《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

8. 如图，在等腰$\triangle ABC$中，$AB = AC = 2$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，将$\triangle ABC$沿其底边中线$AD$向下平移，使$A$的对应点$A'$满足$AA'=\frac{1}{3}AD$，求平移前后两三角形重叠部分的面积.

答案：
【解】$\because$在等腰$\triangle ABC$中，$AB = AC = 2$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，
$\therefore\angle ABC = 30^{\circ}$。
$\because AD$为底边中线，$\therefore AD\perp BC$，$BD = CD$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB = 1$，$BD=\sqrt{3}AD=\sqrt{3}$，
$\therefore BC = 2\sqrt{3}$。
$\because$将$\triangle ABC$沿其底边中线$AD$向下平移，
$\therefore B'C'// BC$，$B'C' = BC = 2\sqrt{3}$，$A'G = AD = 1$，
$\therefore\triangle A'EF\sim\triangle A'B'C'$，$\therefore\frac{EF}{B'C'}=\frac{A'D}{A'G}$。
$\because AA'=\frac{1}{3}AD$，$\therefore DA'=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}A'G=\frac{2}{3}$，
$\therefore\frac{EF}{B'C'}=\frac{A'D}{A'G}=\frac{2}{3}$，$\therefore EF=\frac{2}{3}B'C'=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore S_{阴影}=\frac{1}{2}EF\cdot A'D=\frac{1}{2}\times\frac{4\sqrt{3}}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{9}$。

9.如图,四边形ABCD为平行四边形,E,F为CD边的两个三等分点,连接AF,BE交于点G,若SaABG=12,求S△EFG .

答案： 【解】$\because E$，$F$是$CD$的三等分点，$\therefore EF=\frac{1}{3}CD$。 $\because$在$\square ABCD$中，$AB = CD$，$AB\parallel CD$， $\therefore EF=\frac{1}{3}AB$，$\angle EFG=\angle BAG$，$\angle GEF=\angle GBA$， $\therefore\triangle EFG\sim\triangle BAG$， $\therefore\frac{S_{\triangle EFG}}{S_{\triangle BAG}}=(\frac{EF}{AB})^2=(\frac{1}{3})^2$， $\therefore S_{\triangle EFG}=\frac{1}{9}S_{\triangle ABG}=\frac{1}{9}\times12=\frac{4}{3}$。

10. 如图，$AB$与$CD$交于点$O$，且$AC// BD$. 若$\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD}=\frac{1}{2}$，则$\frac{AC}{BD}=$_______.

答案： $\frac{1}{2}$

11. 如图，点$A(0,-2)$，$B(1,0)$，将线段$AB$平移得到线段$DC$，若$\angle ABC = 90^{\circ}$，$BC = 2AB$，求点$D$的坐标.

答案：
【解】如图，过$D$作$DE\perp y$轴于点$E$，则$\angle AED = 90^{\circ}$。

由平移性质可知：$AB = CD$，$AB// CD$，
故四边形$ABCD$是平行四边形。
$\because\angle ABC = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore\angle BAD = 90^{\circ}$，$BC = AD = 2AB$，
$\therefore\angle OAB+\angle EAD = 90^{\circ}$。
$\because\angle OAB+\angle OBA = 90^{\circ}$，$\therefore\angle OBA=\angle EAD$。
又$\because\angle AOB=\angle DEA = 90^{\circ}$，$\therefore\triangle OAB\sim\triangle EDA$，
$\therefore\frac{OA}{ED}=\frac{AB}{DA}=\frac{OB}{EA}$。
$\because A(0,-2)$，$B(1,0)$，
$\therefore OA = 2$，$OB = 1$，$AB=\sqrt{5}$，
$\therefore\frac{2}{ED}=\frac{\sqrt{5}}{DA}=\frac{1}{EA}$。
设$EA = a$，则$ED = 2a$，$DA=\sqrt{5}a$，
$\therefore\sqrt{5}a = BC = 2AB = 2\sqrt{5}$，解得$a = 2$，
$\therefore EA = 2$，$ED = 4$，$\therefore OE = OA+EA = 4$。
$\because$点$D$在第四象限，$\therefore D(4,-4)$。

12. 已知$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$，$AB$边上的中线$CD = 4\ cm$，$\triangle ABC$的周长为$20\ cm$，$\triangle A'B'C'$的面积是$64\ cm^{2}$. 求：
(1)$A'B'$边上的中线$C'D'$的长；
(2)$\triangle A'B'C'$的周长；
(3)$\triangle ABC$的面积.

答案： 【解】
(1)$\because\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，$\therefore\frac{AB}{A'B'}=\frac{CD}{C'D'}$，
$\therefore\frac{4}{C'D'}=\frac{1}{2}$，$\therefore C'D' = 8\ cm$。
(2)$\because\frac{C_{\triangle ABC}}{C_{\triangle A'B'C'}}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$，$C_{\triangle ABC}=20\ cm$，
$\therefore C_{\triangle A'B'C'}=40\ cm$。
(3)$\because\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}}=(\frac{AB}{A'B'})^2=\frac{1}{4}$，$S_{\triangle A'B'C'}=64\ cm^2$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=64\times\frac{1}{4}=16(cm^2)$。