《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

10. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶$600$m高的山峰，由山底$A$处先步行$300$m到达$B$处，再由$B$处乘坐登山缆车到达山顶$D$处. 已知点$A$，$B$，$D$，$E$，$F$在同一平面内，山坡$AB$的坡角为$30^{\circ}$，缆车行驶路线$BD$与水平面的夹角为$53^{\circ}$（换乘登山缆车的时间忽略不计）.

（1）求登山缆车上升的高度$DE$；
（2）若步行速度为$30$m/min，登山缆车的速度为$60$m/min，求从山底$A$处到达山顶$D$处大约需要多少分钟（结果精确到$0.1$min）.
（参考数据：$\sin53^{\circ}\approx0.80$，$\cos53^{\circ}\approx0.60$，$\tan53^{\circ}\approx1.33$）

答案：
【解】
(1)如图，过$B$点作$BC\perp AF$于$C$，则四边形$BEFC$是矩形。

(第10题答图)
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$AB = 300$m，
$\therefore EF = BC=\frac{1}{2}AB = 150$m，
$\therefore DE = DF - EF = 600 - 150 = 450$（m）。
答：登山缆车上升的高度$DE$为$450$m。
(2)在$Rt\triangle BDE$中，$\angle DEB = 90^{\circ}$，$\angle DBE = 53^{\circ}$，$DE = 450$m，
$\therefore BD=\frac{DE}{\sin53^{\circ}}\approx\frac{450}{0.8}=562.5$（m），
$\therefore$从山底$A$处到达山顶$D$处大约需要
$\frac{300}{30}+\frac{562.5}{60}=19.375\approx19.4$（min）。
答：从山底$A$处到达山顶$D$处大约需要$19.4$min。

11. 如图所示是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱$AC$的高为$11$m，灯杆$AB$与灯柱$AC$的夹角$\angle A = 120^{\circ}$，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域$DE$长为$18$m，从$D$，$E$两处测得路灯$B$的仰角分别为$\alpha$和$\beta$，且$\tan\alpha = 6$，$\tan\beta = \frac{3}{4}$，求灯杆$AB$的长度.

答案： 【解】过点$B$作$BF\perp CE$，交$CE$于点$F$，
过点$A$作$AG\perp BF$，交$BF$于点$G$，
则$FG = AC = 11$m。
设$DF = x$m，在$Rt\triangle BDF$中，
$\because\tan\alpha=\frac{BF}{DF}$，$\therefore BF = DF\cdot\tan\alpha = 6x$m。
在$Rt\triangle BFE$中，$\because\tan\beta=\frac{BF}{EF}$，
$\therefore EF=\frac{BF}{\tan\beta}=8x$m。
$\because DE = 18$m，$\therefore x + 8x = 18$，解得$x = 2$，$\therefore BF = 12$m，
$\therefore BG = BF - GF = 12 - 11 = 1$（m）。
$\because\angle BAC = 120^{\circ}$，
$\therefore\angle BAG=\angle BAC-\angle CAG = 120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$，
$\therefore AB = 2BG = 2$m。
答：灯杆$AB$的长度为$2$m。