《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

16 已知，视力表上视力值$V$和字母$E$的宽度$a$(mm)之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母$E$的宽度$a$如图所示，经整理，视力表上部分视力值$V$和字母$E$的宽度$a$(mm)的对应数据如表所示：
|位置|视力值$V$|$a$的值(mm)|
|第1行|0.1|70|
|第5行|0.25|28|
|第8行|0.5|14|
|第14行|2.0|3.5|
(第16题图)
(1)请你根据表格数据判断并求出视力值$V$和字母$E$的宽度$a$(mm)之间的函数解析式，并说明理由；
(2)经过测量，第4行和第7行两行首个字母$E$的宽度$a$(mm)的值分别是35 mm和17.5 mm，求第4行、第7行的视力值.

答案： 【解】
(1)根据表格数据可知，视力值$V$随着宽度$a$的减小而增大，且视力值$V$和宽度$a$的积为定值，故视力值$V$和宽度$a$成反比例函数关系。设视力值$V$和宽度$a$的函数解析式为$V = \frac{k}{a}$，将$V = 0.1$，$a = 70$代入，得$k = 7$，故视力值$V$和宽度$a$的函数解析式为$V = \frac{7}{a}$。
(2)$\because$第4行首个字母$E$的宽度$a(mm)$的值是35mm，即$a = 35$，$\therefore$将$a = 35$代入$V = \frac{7}{a}$，得$V = 0.2$。$\because$第7行首个字母$E$的宽度$a(mm)$的值是17.5mm，即$a = 17.5$，将$a = 17.5$代入$V = \frac{7}{a}$，得$V = 0.4$。故第4行、第7行的视力值分别是0.2，0.4。

17 如图1，在矩形$ABCD$中，$AB = 3$，$BC = 4$，动点$P$从点$A$出发，沿折线$A→B→C$运动，当它运动到点$C$时停止运动，过点$D$作$DQ\perp AP$交$AP$于点$Q$. 若$AP = x$($x ＞ 0$)，$DQ = y$.
(第17题图)
(1)请直接写出$y$关于$x$的函数关系式，并标明自变量$x$的取值范围；
(2)如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出$y$关于$x$的函数图象，并写出$y$的一条性质；
(3)当点$P$在$BC$边上运动时，若$\triangle ABP$与$\triangle DPC$的面积之比是$\frac{3}{2}$，求此时$y$的值.

答案：
【解】
(1)①当点$P$在线段$AB$上，即$0\lt x\leq3$时，$\because ABCD$是矩形，$\therefore AD\perp AB$。又$\because DQ\perp AP$，$\therefore$点$Q$与点$A$重合，$DQ = AD$。$\because$在矩形$ABCD$中，$AD = BC = 4$，$\therefore DQ = 4$，即$y = 4$。②连接$AC$，如图1。$\because$在矩形$ABCD$中，$AB = 3$，$BC = 4$，$\angle B = 90^{\circ}$，$\therefore AC = \sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。当点$P$在$BC$上运动，即$3\lt x\leq5$时，$\because S_{\triangle APD}=\frac{1}{2}AD\cdot AB$或$S_{\triangle APD}=\frac{1}{2}AP\cdot DQ$，$\therefore\frac{1}{2}AD\cdot AB=\frac{1}{2}AP\cdot DQ$。即$\frac{1}{2}\times4\times3=\frac{1}{2}xy$，$\therefore y = \frac{12}{x}$。综上所述，$y$关于$x$的函数关系式为$y=\begin{cases}4(0\lt x\leq3)\\\frac{12}{x}(3\lt x\leq5)\end{cases}$。
(2)列表：描点并连线，如图2。由图象可得，当$3\lt x\leq5$，$y$随$x$的增大而减小。
(3)当点$P$在$BC$边上运动时，$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}BP\cdot AB=\frac{1}{2}BP\cdot3=\frac{3}{2}BP$，$S_{\triangle DPC}=\frac{1}{2}CP\cdot CD=\frac{1}{2}(BC - BP)\cdot3=\frac{3}{2}(4 - BP)=6-\frac{3}{2}BP$。$\because\frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle DPC}}=\frac{3}{2}$，$\therefore\frac{\frac{3}{2}BP}{6-\frac{3}{2}BP}=\frac{3}{2}$，$\therefore BP = \frac{12}{5}$，$\therefore$在$Rt\triangle ABP$中，$AP=\sqrt{AB^{2}+BP^{2}}=\sqrt{3^{2}+(\frac{12}{5})^{2}}=\frac{3\sqrt{41}}{5}$，即$x = \frac{3\sqrt{41}}{5}$，$\therefore y = \frac{12}{x}=\frac{12}{\frac{3\sqrt{41}}{5}}=\frac{20\sqrt{41}}{41}$。