《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

12. 在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌$ABCD$（如图所示）. 已知标语牌的高$AB = 5$m. 在地面的点$E$处，测得标语牌点$A$的仰角为$30^{\circ}$，在地面的点$F$处，测得标语牌点$A$的仰角为$75^{\circ}$，且点$E$，$F$，$B$，$C$在同一直线上，求点$E$与点$F$之间的距离.（计算结果精确到$0.1$m，参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{3}\approx1.73$）

答案： 【解】过点$F$作$FH\perp AE$于点$H$，则$\angle FHE=\angle FHA = 90^{\circ}$。
设$AH = x$m。
$\because\angle AFB=\angle E+\angle EAF = 75^{\circ}$，
$\therefore\angle EAF = 75^{\circ}-30^{\circ}=45^{\circ}$。
在$Rt\triangle AFH$中，
$\tan\angle HAF=\tan45^{\circ}=\frac{FH}{AH}=1$，
$\therefore AH = FH = x$m。
在$Rt\triangle EFH$中，
$\tan\angle HEF=\tan30^{\circ}=\frac{FH}{EH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore EH=\sqrt{3}x$m，$\therefore AE=(x+\sqrt{3}x)$m。
在$Rt\triangle ABE$中，$\angle E = 30^{\circ}$，
$\therefore AE = 2AB = 10 = x+\sqrt{3}x$，
解得$x = 5\sqrt{3}-5$。
在$Rt\triangle EFH$中，$\angle E = 30^{\circ}$，
$\therefore EF = 2FH = 2x = 10\sqrt{3}-10\approx7.3$（m）。
答：点$E$与点$F$之间的距离约是$7.3$m。

13. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头$A$的仰角、俯角均为$15^{\circ}$，摄像头高度$OA = 160$cm，识别的最远水平距离$OB = 150$cm.

（1）身高$208$cm的小杜，头部高度为$26$cm，他站在离摄像头水平距离$130$cm的点$C$处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别.
（2）身高$120$cm的小若，头部高度为$15$cm，踮起脚尖可以增高$3$cm，但仍无法被识别. 社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为$20^{\circ}$（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明.（结果精确到$0.1$cm，参考数据$\sin15^{\circ}\approx0.26$，$\cos15^{\circ}\approx0.97$，$\tan15^{\circ}\approx0.27$，$\sin20^{\circ}\approx0.34$，$\cos20^{\circ}\approx0.94$，$\tan20^{\circ}\approx0.36$）

答案：
【解】
(1)过点$C$作$OB$的垂线分别交仰角、俯角线于点$E$，$D$，交水平线于点$F$，如答图1所示，

(第13题答图1)
在$Rt\triangle AEF$中，$\tan\angle EAF=\frac{EF}{AF}$，
$\therefore EF = AF\cdot\tan15^{\circ}\approx130\times0.27 = 35.1$（cm）。
$\because AF = AF$，$\angle EAF=\angle DAF$，$\angle AFE=\angle AFD = 90^{\circ}$，
$\therefore\triangle ADF\cong\triangle AEF$，$\therefore EF = DF = 35.1$cm，
$\therefore CE = CF + EF = 160 + 35.1 = 195.1$（cm），$ED = 2EF = 35.1\times2 = 70.2$（cm）$＞26$（cm），
$\therefore$小杜下蹲的最小距离为$208 - 195.1 = 12.9$（cm）。
(2)小若能被识别. 理由如下：
过点$B$作$OB$的垂线分别交仰角、俯角线于点$M$，$N$，交水平线于点$P$，如答图2所示，

(第13题答图2)
在$Rt\triangle APM$中，$\tan\angle MAP=\frac{MP}{AP}$。
$\therefore MP = AP\cdot\tan20^{\circ}\approx150\times0.36 = 54.0$（cm）。
$\because\angle MAP=\angle NAP$，$AP = AP$，$\angle APM=\angle APN = 90^{\circ}$，
$\therefore\triangle AMP\cong\triangle ANP$，$\therefore PN = MP = 54.0$（cm），
$\therefore BN = BP - PN = 160 - 54.0 = 106.0$（cm）。
小若垫起脚尖后头顶的高度为$120 + 3 = 123$（cm）。
$\therefore$小若头顶超出点$N$的高度$123 - 106.0 = 17.0$（cm）$＞15$（cm），
$\therefore$小若垫起脚尖后能被识别。