《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

16. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 5\ cm$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，动点$M$从点$B$出发，在$BA$边上以$2\ cm/s$的速度向点$A$匀速运动，同时动点$N$从点$C$出发，在$CB$边上以$\sqrt{3}\ cm/s$的速度向点$B$匀速运动，设运动时间为$t\ s(0\leqslant t\leqslant5)$，连接$MN$.
发现：$BM =$_______$cm$，$BN =$_______$cm$. (用含$t$的式子来表示)
(1)猜想：
①若$BM = BN$，求$t$的值；
②若$\triangle BMN$的面积与四边形$AMNC$的面积比值为$\frac{1}{3}$，求$t$的值.
(2)探究：是否存在符合条件的$t$，使$\triangle BMN$与$\triangle ABC$相似? 若存在，求出$t$的值；若不存在，请说明理由.

答案：
【解】发现：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 60^{\circ}$，
$\therefore\angle B = 30^{\circ}$。
$\because AC = 5\ cm$，
$\therefore AB = 2AC = 10\ cm$，$BC=\sqrt{3}AC = 5\sqrt{3}cm$。
由运动知，$BM = 2t(cm)$，$CN=\sqrt{3}t(cm)$，
$\therefore BN = BC - CN=(5\sqrt{3}-\sqrt{3}t)cm$。
故答案为$2t$，$(5\sqrt{3}-\sqrt{3}t)$。
猜想：
(1)①$\because BM = BN$，
$\therefore 2t = 5\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，
$\therefore t = 10\sqrt{3}-15$。
②$\because AC = 5\ cm$，$BC = 5\sqrt{3}cm$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{25\sqrt{3}}{2}cm^2$。
$\because\triangle BMN$与四边形$AMNC$的面积比值为$\frac{1}{3}$，
$\therefore S_{\triangle BMN}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{25\sqrt{3}}{8}cm^2$。
如图，过点$M$作$MD\perp BC$于$D$，

在$Rt\triangle BDM$中，$\angle B = 30^{\circ}$，$BM = 2t\ cm$，
$\therefore DM=\frac{1}{2}BM = t\ cm$，
$\therefore S_{\triangle BMN}=\frac{1}{2}BN\cdot DM=\frac{1}{2}(5\sqrt{3}-\sqrt{3}t)\cdot t=\frac{25\sqrt{3}}{8}$，
解得$t_1 = t_2 = 2.5$。
(2)当$\triangle MBN\sim\triangle ABC$时，
则$\frac{BM}{AB}=\frac{BN}{BC}$，
$\therefore\frac{2t}{10}=\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{5\sqrt{3}}$，
$\therefore t=\frac{5}{2}$。
当$\triangle MBN\sim\triangle CBA$时，
则$\frac{BM}{BC}=\frac{BN}{AB}$，
$\therefore\frac{2t}{5\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{10}$，
$\therefore t=\frac{15}{7}$。
故满足条件的$t$的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{15}{7}$。