《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

7. 如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$各顶点的坐标分别是$A(4,8)$，$B(4,4)$，$C(10,4)$，$\triangle A_1B_1C_1$与$\triangle ABC$关于原点$O$位似，$A$，$B$，$C$的对应点分别为$A_1$，$B_1$，$C_1$，其中$B_1$的坐标是$(2,2)$.
(1)$\triangle A_1B_1C_1$和$\triangle ABC$的相似比是_______；
(2)请画出$\triangle A_1B_1C_1$；
(3)$BC$边上有一点$M(a,b)$，在$B_1C_1$边上与点$M$对应点的坐标是_______；
(4)$\triangle A_1B_1C_1$的面积是_______.

答案：
【解】
(1)△A₁B₁C₁和△ABC的相似比是1∶2.
故答案为1∶2.
(2)如图所示，△A₁B₁C₁即为所求.

(3)BC边上有一点M(a,b)，在B₁C₁边上与点M对应点的坐标是$(\frac{1}{2}a,\frac{1}{2}b)$.
故答案为$(\frac{1}{2}a,\frac{1}{2}b)$.
(4)△A₁B₁C₁的面积是$\frac{1}{2}B_{1}C_{1}\cdot A_{1}B_{1}=\frac{1}{2}\times3\times2 = 3$.
故答案为3.

8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形$ABCD$与正方形$BEFG$是以原点$O$为位似中心的位似图形，且它们的相似比为$\frac{1}{3}$，点$A$，$B$，$E$在$x$轴上.若正方形$BEFG$的边长为$6$，则$C$点的坐标为( )。

A. $(3,2)$
B. $(3,1)$
C. $(2,2)$
D. $(4,2)$

答案： A【解析】
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AD}{BG}=\frac{1}{3}$.
∵BG = 6，
∴AD = AB = BC = 2.
∵AD//BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OA}{2 + OA}=\frac{1}{3}$，解得OA = 1，
∴OB = 3，
∴C点坐标为(3,2).

9. 如图，平面直角坐标系$xOy$中，点$A$，$B$的坐标分别为$(3,0)$，$(2,-3)$，$\triangle ACD$是$\triangle AOB$关于点$A$的位似图形，且点$C$的坐标为$(-1,0)$，则$\triangle ACD$的面积为_______.

答案： 8【解析】
∵点A的坐标为(3,0)，△ACD是△AOB关于点A的位似图形，且点C的坐标为(-1,0)，
∴$\frac{AO}{AC}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{S_{\triangle AOB}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{9}{16}$.
∵点B的坐标为(2, - 3)，
∴$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\times3\times3=\frac{9}{2}$，
∴$S_{\triangle ACD}=8$.

10. 如图，直线$y = \frac{1}{2}x + 1$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，$\triangle BOC$与$\triangle B'O'C'$是以点$A$为位似中心的位似图形，且它们的相似比为$1:3$，则点$B$的对应点$B'$的坐标为_______.

答案： (-8, - 3)或(4,3)【解析】
∵直线$y=\frac{1}{2}x + 1$与x轴交于点A，与y轴交于点B，令x = 0可得y = 1，令y = 0可得x = - 2，
∴A(-2,0)，B(0,1).
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，
∴$\frac{OB}{O'B'}=\frac{OA}{O'A}=\frac{1}{3}$，
∴O′B′ = 3，AO′ = 6，
∴点B′的坐标为(-8, - 3)或(4,3).

11. 如图，以原点$O$为位似中心，把$\triangle OAB$放大后得到$\triangle OCD$.
(1)求$\triangle OAB$与$\triangle OCD$的相似比；
(2)若$A$点坐标是$(3,-3)$，求点$C$的坐标.

答案： 【解】
(1)由题图，知B(4,0)，D(6,0)，
∴$\frac{OB}{OD}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，
∴△OAB与△OCD的相似比是2∶3.
(2)点C的坐标是(4.5, - 4.5).

12. 如图，在边长为$1$的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知$\triangle ABC$的三个顶点分别为$A(-1,2)$，$B(2,1)$，$C(4,5)$.
(1)画出$\triangle ABC$关于$x$轴对称的$\triangle A_1B_1C_1$；
(2)以原点$O$为位似中心，在$x$轴的上方画出$\triangle A_2B_2C_2$，使$\triangle A_2B_2C_2$与$\triangle ABC$位似，且相似比为$2:1$，并求出$\triangle A_2B_2C_2$的面积.

答案：
【解】
(1)如答图所示，△A₁B₁C₁就是所求三角形.
(2)如答图所示，△A₂B₂C₂就是所求三角形.

∵A(-1,2)，B(2,1)，C(4,5)，
△A₂B₂C₂与△ABC位似，且相似比为2∶1，△A₂B₂C₂在x轴上方，
∴A₂(-2,4)，B₂(4,2)，C₂(8,10)，
∴$S_{\triangle A_{2}B_{2}C_{2}}=8\times10-\frac{1}{2}\times6\times2-\frac{1}{2}\times4\times8-\frac{1}{2}\times6\times10 = 28$.