《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

16【数学眼光】
星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识求得海关大楼的高度，如图1所示. 小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示.

【问题提出】
问题一：现测量得到BC=a，CE=b，DE=c. 问：海关大楼高AB高为多少? (用a，b，c表示)
【数学思维】
但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下，小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示.
问题二：小星测量得到EG=16.8 m，DF=1.6 m，GN=1.8 m，DE=1.45 m，请你求出海关大楼AB的高度.
【数学语言】
问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为81 m，请你尝试着分析出现这样误差的原因.

答案： 【解】问题一：由反射特点可知∠ACB = ∠DCE。
又
∵∠ABC = ∠DEC = 90°，
∴△ABC∽△DEC，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EC}$。
∵BC = a，CE = b，DE = c，
∴$\frac{AB}{c}=\frac{a}{b}$，
∴$AB=\frac{ac}{b}$。
问题二：
由反射特点可知∠AEB = ∠FED，∠AGB = ∠MGN。
∵∠ABE = ∠FDE = ∠MNG = 90°，
∴△AEB∽△FED，△AGB∽△MGN，
∴$\frac{AB}{FD}=\frac{EB}{ED}$，$\frac{AB}{MN}=\frac{GB}{GN}$。
∵FD = MN，
∴$\frac{EB}{ED}=\frac{GB}{GN}$。
∵EG = 16.8 m，DF = 1.6 m，GN = 1.8 m，DE = 1.45 m，
∴$\frac{EB}{1.45}=\frac{EB + 16.8}{1.8}$，解得EB = 69.6，
∴$\frac{AB}{1.6}=\frac{69.6}{1.45}$，解得AB = 76.8。
故海关大楼AB的高度为76.8 m。
问题三：
(1)理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到∠AEB = ∠FED和∠AGB = ∠MGN，实际操作中有误差。
(2)实际中测量两点之间的距离也存在误差。