《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

9. 已知α为锐角，sin(α - 20°) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，则α = ________.

答案： $80^{\circ}$

10. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = $\sqrt{5}$，AC = $\sqrt{15}$，试求∠A的度数.

答案： 【解】在$Rt\triangle ABC$中，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore\angle A = 30^{\circ}$.

11. 在△ABC中，cos A = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，tan C = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，试判断△ABC的形状.

答案： 【解】$\because\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan C=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore\angle A = 45^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$，$\therefore\angle B = 105^{\circ}$，
$\therefore\triangle ABC$为钝角三角形.

12. 如图，在5×6的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则sin B的值为（ ）.

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. 1
D. $\sqrt{2}$

答案： B

13. 若一个三角形三个内角的度数比为1∶2∶3，则这个三角形最小角的正切值是（ ）.
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： C

14. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB = 60°，则$\frac{AB}{AC}$=（ ）.

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： A

15. 如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠B = ∠C = 90°，若BC = $\sqrt{3}$AB，则∠AED的度数为（ ）.

A. 110°
B. 115°
C. 120°
D. 125°

答案：
C 【解析】连接$AC$，如图，
$\because\angle B = 90^{\circ}$，$BC=\sqrt{3}AB$，$\therefore\tan\angle BAC=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$，
$\therefore\angle BAC = 60^{\circ}$.
$\because\angle B+\angle BCD = 90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$，
$\therefore AB// CD$，$\therefore\angle ACD=\angle BAC = 60^{\circ}$.
$\because$四边形$ACDE$是圆内接四边形，
$\therefore\angle AED+\angle ACD = 180^{\circ}$，$\therefore\angle AED = 120^{\circ}$.
故选C.

16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（$\sqrt{3}$，3），线段AB//x轴，AB = 2$\sqrt{3}$，连接OA，OB，若将△OAB绕点O逆时针旋转120°，则点B的对应点B′的坐标为（ ）.

A. (-3$\sqrt{3}$，3)
B. (3，-3$\sqrt{3}$)
C. (3$\sqrt{3}$，3)
D. (-3，3$\sqrt{3}$)

答案：
A 【解析】如图：延长$BA$交$y$轴于点$C$.
$\because$点$A$的坐标为$(\sqrt{3},3)$，线段$AB// x$轴，$AB = 2\sqrt{3}$，
$\therefore B(3\sqrt{3},3)$，
$\therefore\tan\angle COB=\frac{BC}{OC}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，即$\angle COB = 60^{\circ}$.
如图，将$\triangle OAB$绕点$O$逆时针旋转$120^{\circ}$，
$\therefore\angle COB' = 60^{\circ}$，即点$B'$与点$B$关于$y$轴对称，
$\therefore B'(-3\sqrt{3},3)$.
故选A.