《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

14. 如图是边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点都在网格点上.
(1)在AB上找出一点P，连接PC，使得△BCP∽△BAC；
(2)利用“三边对应成比例的两个三角形相似”证明(1)中结论.

答案：
【解】
(1)因为网格是由边长为 1 的小正方形组成的，
所以 $BC = \sqrt{2^{2}+1^{2}} = \sqrt{5}$，$AB = 5$.
因为△BCP∽△BAC，
所以 $\frac{BC}{BA} = \frac{BP}{BC} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，即 $BP = 1$.
则在 AB 上找出一点 P，连接 PC，如答图所示.

(2)依题意，如
(1)中的答图，
因为网格是由边长为 1 的小正方形组成的，
所以在△BAC 中，$BC = \sqrt{2^{2}+1^{2}} = \sqrt{5}$，$AC = \sqrt{3^{2}+1^{2}} = \sqrt{10}$，$AB = 5$，
在△BCP 中，$BP = 1$，$PC = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}$，$BC = \sqrt{2^{2}+1^{2}} = \sqrt{5}$.
因为 $\frac{BC}{BP} = \frac{AC}{PC} = \frac{AB}{BC} = \sqrt{5}$，
所以△BCP∽△BAC.

15. 如图所示，在△ABC中，∠B = 90°，点D，E在BC上，且AB = BD = DE = EC. 求证：(1)△ADE∽△CDA；(2)∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°.

答案： 【证明】
(1)设 $AB = BD = DE = EC = m$，
则 $AD = \sqrt{2}m$，$CD = 2m$，$AE = \sqrt{5}m$，$AC = \sqrt{10}m$，
∴$\frac{AD}{CD} = \frac{\sqrt{2}m}{2m} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{DE}{DA} = \frac{m}{\sqrt{2}m} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AE}{CA} = \frac{\sqrt{5}m}{\sqrt{10}m} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AD}{CD} = \frac{DE}{DA} = \frac{AE}{CA}$，
∴△ADE∽△CDA.
(2)由
(1)可知△ADE∽△CDA，
∴∠DAE = ∠3.
∵∠B = 90°，$AB = BD$，
∴∠1 = 45°.
又
∵∠1 = ∠2 + ∠DAE，
∴∠2 + ∠3 = ∠1 = 45°，
∴∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°.

16. 已知△ABC的三边长分别为5 cm，6 cm，7 cm，△DEF中一边的长度为4 cm，若想得到△ABC∽△DEF，你能求出△DEF中另两边的长吗？试说明理由.

答案： 【解】能. 理由如下：
设△DEF 中另两边的长分别为 $x$ cm，$y$ cm.
当△DEF 中长度为 4 cm 的边与△ABC 中长度为 5 cm 的边是对应边时，
则有 $\frac{4}{5} = \frac{x}{6} = \frac{y}{7}$，因此 $x = \frac{24}{5}$，$y = \frac{28}{5}$；
当△DEF 中长度为 4 cm 的边与△ABC 中长度为 6 cm 的边是对应边时，
则有 $\frac{x}{5} = \frac{4}{6} = \frac{y}{7}$，因此 $x = \frac{10}{3}$，$y = \frac{14}{3}$；
当△DEF 中长度为 4 cm 的边与△ABC 中长度为 7 cm 的边是对应边时，
则有 $\frac{x}{5} = \frac{y}{6} = \frac{4}{7}$，因此 $x = \frac{20}{7}$，$y = \frac{24}{7}$.
综上所述，△DEF 中另两边的长是 $\frac{24}{5}$ cm，$\frac{28}{5}$ cm 或 $\frac{10}{3}$ cm，$\frac{14}{3}$ cm 或 $\frac{20}{7}$ cm，$\frac{24}{7}$ cm.