《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

13. 如图，四边形$ABCD$是某学校的一块种植实验基地，其中$\triangle ABC$是水果园，$\triangle ACD$是蔬菜园. 已知$AB// CD$，$AB = 27\ m$，$AC = 18\ m$，$CD = 12\ m$.
(1)求证：$\triangle ABC\sim\triangle CAD$；
(2)若蔬菜园$\triangle ACD$的面积为$80\ m^{2}$，求水果园$\triangle ABC$的面积.

答案：
(1)【证明】$\because AB// CD$，$\therefore\angle BAC=\angle ACD$。
$\because AB = 27\ m$，$AC = 18\ m$，$CD = 12\ m$，
$\because\frac{AB}{AC}=\frac{27}{18}=\frac{3}{2}$，$\frac{AC}{CD}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$，
$\therefore\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CD}$，$\therefore\triangle ABC\sim\triangle CAD$。
(2)【解】由
(1)知$\triangle ABC\sim\triangle CAD$，
$\therefore\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle CAD}}=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，即$\frac{S_{\triangle ABC}}{80}=\frac{9}{4}$，
解得$S_{\triangle ABC}=180$。
答：水果园$\triangle ABC$的面积为$180\ m^2$。

14. 如图1，$AD$是$\triangle ABC$的高，点$E$，$F$分别在边$AB$和$AC$上，且$EF// BC$. 由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论：$\frac{AG}{AD}=\frac{EF}{BC}$.

(1)如图2，在$\triangle ABC$中，$BC = 6$，$BC$边上的高为$8$，在$\triangle ABC$内放一个正方形$MNGH$，使其一边$GH$在$BC$上，点$M$，$N$分别在$AB$，$AC$上，则正方形$MNGH$的边长 = _______.
(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上布置一个腰长为$100\ cm$，底边长为$120\ cm$的等腰三角形展台. 现需将展台用平行于底边的隔板，每间隔$10\ cm$分隔出一层，再将每一层尽可能多的分隔成若干个开口为正方形的长方体格子，要求每个格子内放置一瓶葡萄酒，平面设计图如图3所示，将底边$BC$的长度看作是第0层隔板的长度.
①在分隔的过程中发现，当隔板厚度忽略不计时，每层平行于底边的隔板长度(单位：$cm$)随着层数(单位：层)的变化而变化. 请完成下表：
|层数/层|0|1|2|3|…|
|----|----|----|----|----|----|
|隔板长度/cm|120|____|____|____|…|
②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒?

答案：
【解】
(1)如答图1，作$AD\perp BC$于$D$，交$MN$于$E$，
由题意，得$\frac{AE}{AD}=\frac{MN}{BC}$。

设正方形$MNGH$的边长为$x$，则
$\frac{8 - x}{8}=\frac{x}{6}$，解得$x=\frac{24}{7}$。
故答案为$\frac{24}{7}$。
(2)如答图2，作$AD\perp BC$于$D$，

$\because AB = AC = 100\ cm$，
$\therefore BD = CD=\frac{1}{2}BC = 60\ cm$，
$\therefore AD=\sqrt{100^2 - 60^2}=80(cm)$。
①设第1层，第2层，第3层隔板的长度分别为$y_1$，$y_2$，$y_3$，则
$\frac{y_1}{120}=\frac{80 - 10}{80}$，解得$y_1 = 105$。
$\frac{y_2}{120}=\frac{80 - 20}{80}$，解得$y_2 = 90$。
$\frac{y_3}{120}=\frac{80 - 30}{80}$，解得$y_3 = 75$。
故答案为$105$，$90$，$75$。
②第$n$层隔板的长度的分别为$y_n$，则
$\frac{y_n}{120}=\frac{80 - 10n}{80}$，
解得$y_n = 120 - 15n$。
因此得$y_4 = 60$，$y_5 = 45$，$y_6 = 30$，$y_7 = 15$，
故最多可摆$7$层。
第1层可摆$105\div10 = 10.5\approx10$(瓶)；
第2层可摆$90\div10 = 9$(瓶)；
第3层可摆$75\div10 = 7.5\approx7$(瓶)；
第4层可摆$60\div10 = 6$(瓶)；
第5层可摆$45\div10 = 4.5\approx4$(瓶)；
第6层可摆$30\div10 = 3$(瓶)；
第7层可摆$15\div10 = 1.5\approx1$(瓶)。
共$10 + 9+7 + 6+4 + 3+1 = 40$(瓶)，
故该展台最多可摆$40$瓶葡萄酒。

15. 如图，已知$\triangle ABC$和$\triangle DEC$面积相等，点$E$在$BC$边上，$DE// AB$交$AC$于点$F$，$AB = 12$，$EF = 9$，则$DF$长为_______.

答案： 7【解析】$\because DE// AB$，$\therefore\triangle EFC\sim\triangle BAC$，
$\therefore\frac{S_{\triangle CEF}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{EF}{AB})^2=(\frac{9}{12})^2=\frac{9}{16}$。
$\because S_{\triangle ABC}=S_{\triangle DEC}$，$\therefore S_{\triangle EFC}=\frac{9}{16}S_{\triangle DEC}$，
$\therefore EF:ED = 9:16$。
$\because EF = 9$，$\therefore ED = 16$，$\therefore DF = 7$。