《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

8. 如图，在6×6网格图中，每个小正方形的边长均为1，则关于三角形①、②有四个说法，其中正确的是( )．

A. 一定不相似
B. 一定相似，且相似比为1∶3
C. 一定相似，且相似比为1∶2
D. 一定相似，且相似比为1∶4

答案： C

9. 如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )．

答案： B

10. 如图是由8个小正方形组成的网格，则在△ABD，△ACD，△EBD，△EAF中，与△ABC相似的有( )．

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： B 【解析】依题意，$BC = 1$，$AB = \sqrt{2}$，$AC = \sqrt{5}$，$BD = 2$，$BE = 2\sqrt{2}$，$ED = 2\sqrt{5}$，$AB = \sqrt{2}$，$BD = 2$，$AD = \sqrt{10}$，
∴$\frac{BC}{BD} = \frac{AB}{BE} = \frac{AC}{ED} = \frac{1}{2}$，$\frac{BC}{AB} = \frac{AB}{BD} = \frac{AC}{AD} = \frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴△ABC∽△EBD，△ABC∽△DBA，
而 $EA = \sqrt{2}$，$EF = \sqrt{17}$，$AF = 3$，$CD = 1$，$AC = \sqrt{5}$，$AD = \sqrt{10}$，与△ABC 不相似，
故选 B.

11. 如图，网格图中每个方格都是边长为1的正方形. 若A，B，C，D，E，F都是格点，求证：△ABC∽△DEF.

答案： 【证明】由图易得 $AC = \sqrt{2}$，$BC = \sqrt{1^{2}+3^{2}} = \sqrt{10}$，$AB = 4$，$DF = \sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，$EF = \sqrt{2^{2}+6^{2}} = 2\sqrt{10}$，$ED = 8$，
∴$\frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE} = \frac{1}{2}$，
∴△ABC∽△DEF.

12. 如图，O为△ABC内一点，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，求证：△DEF∽△ABC.

答案： 【证明】
∵在△OAB 中，点 D，E 分别是 OA，OB 的中点，
∴DE 是△OAB 的中位线，
∴$\frac{DE}{AB} = \frac{1}{2}$.
同理 $\frac{EF}{BC} = \frac{1}{2}$，$\frac{DF}{AC} = \frac{1}{2}$，
∴$\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC} = \frac{EF}{BC}$，
∴△DEF∽△ABC.

13. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(3，0)，B(0，4)，C(4，2)，作CD⊥x轴，垂足为点D，连接AB，BC，AC. 求证：△ABC∽△ACD.

答案：
【证明】如答图，过点 C 作 CH⊥OB，交 OB 于点 H.

由 A，B，C 三点的坐标可以得到 $OA = 3$，$OB = 4$，$AD = 1$，$CD = 2$，$OH = CD = 2$，$BH = OB - OH = 2$，$CH = 4$，
∴$AB = \sqrt{OA^{2}+OB^{2}} = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，$AC = \sqrt{AD^{2}+CD^{2}} = \sqrt{1^{2}+2^{2}} = \sqrt{5}$，$BC = \sqrt{BH^{2}+CH^{2}} = \sqrt{2^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{5}$.
在△ABC 和△ACD 中，
∵$\frac{AC}{AD} = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5}$，$\frac{BC}{CD} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$，$\frac{AB}{AC} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$，
∴$\frac{AC}{AD} = \frac{BC}{CD} = \frac{AB}{AC}$，
∴△ABC∽△ACD.