《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

12. 如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC = ∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是( )．

A. CA平分∠BCD
B. $\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{AC}$
C. $AC^{2}=BC\cdot CD$
D. ∠DAC = ∠ABC

答案： C

13. 如图，D是等边三角形ABC边AB上的点，AD = 2，BD = 4. 现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC和BC上，则$\frac{CF}{CE}$=________．

答案： $\frac{5}{4}$

14. 如图，矩形ABCD中，BC＜2AB，点M是BC的中点，连接AM. 将△ABM沿着AM折叠后得到△APM，延长AP交CD于E，连接ME.
(1)求证：ME平分∠PMC.
(2)求证：△EMC∽△MAB.

答案： 【证明】
(1)$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore\angle B=\angle C = 90^{\circ}$.
$\because$点$M$是$BC$的中点，$\therefore BM = CM$.
$\because$将$\triangle ABM$沿着$AM$折叠后得到$\triangle APM$，
$\therefore PM = BM,\angle MPE=\angle APM=\angle B = 90^{\circ}$，
$\therefore PM = CM,\angle MPE=\angle C$.
又$\because EM = EM$，$\therefore\triangle PEM\cong\triangle CEM(HL)$，
$\therefore\angle CME=\angle PME$，$\therefore ME$平分$\angle PMC$.
(2)由折叠可得，$\angle AMB=\angle AMP$.
由
(1)得，$\angle CME=\angle PME$.
$\because\angle AMB+\angle AMP+\angle PME+\angle CME = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle AMB+\angle CME = 90^{\circ}$.
$\because\angle B=\angle C = 90^{\circ}$，$\therefore\angle BAM+\angle AMB = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle CME=\angle BAM$.
又$\because\angle C=\angle B$，$\therefore\triangle EMC\sim\triangle MAB$.

15. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF = ∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD = 3，AB = 5，求$\frac{AF}{AG}$的值.

答案：
(1)【证明】$\because AF\perp DE$于点$F$，$AG\perp BC$于点$G$，
$\therefore\angle AFE = 90^{\circ},\angle AGC = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle AEF = 90^{\circ}-\angle EAF,\angle C = 90^{\circ}-\angle GAC$.
又$\because\angle EAF=\angle GAC$，$\therefore\angle AEF=\angle C$.
又$\because\angle DAE=\angle BAC$，$\therefore\triangle ADE\sim\triangle ABC$.
(2)【解】由
(1)知$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，$\therefore\angle ADE=\angle B$.
又$\because\angle AFD=\angle AGB = 90^{\circ}$，$\therefore\triangle AFD\sim\triangle AGB$，
$\therefore\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AB}$.$\because AD = 3,AB = 5$，$\therefore\frac{AF}{AG}=\frac{3}{5}$.