《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

9. 在反比例函数$y = \frac{4}{x}$的图象上有$P(t,y_1)$，$Q(t + 4,y_2)$两点。下列选项正确的是( )。
A. 当$t ＜ -4$时，$y_2 ＜ y_1 ＜ 0$
B. 当$-4 ＜ t ＜ 0$时，$y_2 ＜ y_1 ＜ 0$
C. 当$-4 ＜ t ＜ 0$时，$0 ＜ y_1 ＜ y_2$
D. 当$t ＞ 0$时，$0 ＜ y_1 ＜ y_2$

答案： A

10. 将反比例函数$y = -\frac{2}{x}$的图象绕着原点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$后，其图象所表示的函数解析式为( )。
A. $y = -\frac{2}{x}$
B. $y = \frac{2}{x}$
C. $y = -\frac{1}{2x}$
D. $y = \frac{1}{2x}$

答案： B

11. 在同一平面直角坐标系中，函数$y = kx - k(k \neq 0)$与$y = \frac{k}{\vert x \vert}$的大致图象为( )。

答案： C

12. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率$f$与弦长$l$成反比例关系，即$f = \frac{k}{l}$($k$为常数且$k \neq 0$)，若某乐器的弦长$l$为0.9米，振动频率$f$为200赫兹，则$k$的值为_______。

答案： 180

13. 已知点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$都在$y = \frac{6}{x}$的图象上，若$x_1 \cdot x_2 = -3$，则$y_1 \cdot y_2$的值为_______。

答案： -12

14. 一次函数$y = x + m$经过点$A(-3,0)$，交反比例函数$y = \frac{k}{x}$于点$B(n,4)$。
(1)求$m$，$n$，$k$；
(2)点$C$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$第一象限的图象上，若$S_{\triangle AOC} ＜ S_{\triangle AOB}$，直接写出点$C$的横坐标$a$的取值范围。

答案： 【解】
(1)
∵一次函数$y = x + m$经过点$A(-3,0)$，点$B(n,4)$，
∴$\begin{cases}-3 + m = 0,\\n + m = 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 3,\\n = 1,\end{cases}$
∴点$B(1,4)$.
∵反比例函数$y = \frac{k}{x}$经过点$B(1,4)$，
∴$k = 1×4 = 4$.
(2)
∵点$A(-3,0)$，点$B(1,4)$，
∴$AO = 3$，
∴$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}AO×|y_B| = \frac{1}{2}×3×4 = 6$，
$S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2}AO×|y_C| = \frac{3}{2}y_C$.
由题意，得$\frac{3}{2}y_C ＜ 6$，
∴$y_C ＜ 4$，
∴$x_C ＞ 1$，
∴点$C$的横坐标$a$的取值范围为$a ＞ 1$.

15. 列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系。下表是函数$y = 2x + b$与$y = \frac{k}{x}$部分自变量与函数值的对应关系：
| $x$ | $-\frac{7}{2}$ | $a$ | 1 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $2x + b$ | $a$ | 1 | _______ |
| $\frac{k}{x}$ | _______ | _______ | 7 |
(1)求$a$，$b$的值，并补全表格；
(2)结合表格，当$y = 2x + b$的图象在$y = \frac{k}{x}$的图象上方时，直接写出$x$的取值范围。

答案： 【解】
(1)当$x = -\frac{7}{2}$时，$2x + b = a$，即$-7 + b = a$，
当$x = a$时，$2x + b = 1$，即$2a + b = 1$.
∴$\begin{cases}a - b = -7,\\2a + b = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -2,\\b = 5,\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y = 2x + 5$，
当$x = 1$时，$y = 7$.
∵当$x = 1$时，$y = \frac{k}{x} = 7$，即$k = 7$，
∴反比例函数的解析式为$y = \frac{7}{x}$，
当$x = -\frac{7}{2}$时，$y = 7÷(-\frac{7}{2}) = -2$，
当$x = -2$时，$y = -\frac{7}{2}$.
补全表格如下：
|$x$|$-\frac{7}{2}$|$-2$|$1$|
|----|----|----|----|
|$2x + b$|$-2$|$1$|$7$|
|$\frac{k}{x}$|$-2$|$-\frac{7}{2}$|$7$|
(2)由表格信息可得，两个函数的交点坐标分别为$(-\frac{7}{2},-2)$，$(1,7)$，图象如答图.
(第15题答图)
∴当$y = 2x + b$的图象在$y = \frac{k}{x}$的图象上方时，$x$的取值范围为$-\frac{7}{2} ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 1$.