《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

12. 下面是工程师孙师傅的工作日志，请你仔细阅读，完成相应任务.
**工作日志**
今天，我们要在一座山上修建一座5G信号塔，修建完成后需要再次校准信号塔的高度.为完成此任务，我们进行了如下操作：
我们把它抽象为一个数学问题：如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，我们从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点(点A，B，C在同一直线上)，再沿斜坡DE方向前行78米到E点(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度i＝1∶2.4，然后通过计算求出了信号塔的高度.
通过今天的经历，我认识到了数学在实际生活中的强大能力，数学来源于生活又高于生活，我们遇到问题要想办法，用所学的数学知识解决问题.
解决问题：请你根据孙师傅的方法，求出信号塔AB的高度.(参考数据：sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93)

答案：
【解】作$EF\perp CD$于点$F,EG\perp BC$于点$G$.

在$Rt\triangle DEF$中,设$EF = x$米.
$\because i = 1:2.4,\therefore DF = 2.4x$米,
$\therefore DE=\sqrt{EF^{2}+DF^{2}} = 2.6x$米,
$\therefore 2.6x = 78,\therefore x = 30$,
$\therefore DF = 2.4\times30 = 72$(米),
$\therefore GE = FC = DF + CD = 72 + 78 = 150$(米),$CG = EF = 30$米.
在$Rt\triangle AEG$中,
$AG = EG\cdot\tan\angle AEG = 150\times\tan43^{\circ}\approx139.5$(米),
$\therefore AB = AG + CG - BC\approx25$米,
$\therefore$信号塔$AB$的高度约为$25$米.

13. 如图，有一条河流自北向南穿过某公园，河流的上游有一座桥梁CD，A地和B地都有休闲步道与桥梁CD相连.为方便市民游览，在河流的下游新建了桥梁EF和休闲步道AE，BF(点A，E，F，B在同一水平直线上)，桥梁EF与桥梁CD平行，且EF＝1.5CD.经过测量，桥梁CD的一端C在A地的北偏东65°方向，另一端D在B地的北偏西45°方向，B地在A地的正东方向.A、B两地相距870米，A、C两地相距650米.
(1)求桥梁EF的长度(结果精确到0.1米，参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)．
(2)周末，小明和爷爷在公园里游玩，他们同时从A地向B地出发，小明的路径为A→C→D→B，平均速度为100米/分；爷爷的路径为A→E→F→B，平均速度为70米/分.请判断谁先到达B地(参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41)．

答案：
【解】
(1)作$CM\perp AB,DN\perp AB$,
则可得四边形$CMND$是矩形,$\angle AMC=\angle DNB = 90^{\circ}$.

由题意易得$\angle ACM = 65^{\circ},\angle BDN = 45^{\circ}$.
在$Rt\triangle ACM$中,$\angle AMC = 90^{\circ},\angle ACM = 65^{\circ},AC = 650$米,
$\therefore AM = AC\cdot\sin65^{\circ}\approx650\times0.91 = 591.5$(米),
$CM = AC\cdot\cos65^{\circ}\approx650\times0.42 = 273$(米),
$\therefore CM = DN = 273$米.
在$Rt\triangle DBN$中,$\angle DNB = 90^{\circ},\angle BDN = 45^{\circ}$,
$\therefore BN = DN\cdot\tan45^{\circ}=273\times1 = 273$(米),
$\therefore MN = AB - AM - BN = 870 - 591.5 - 273 = 5.5$(米),
$\therefore CD = MN = 5.5$米,$EF = 1.5CD = 1.5\times5.5 = 8.25\approx8.3$(米),
$\therefore$桥梁$EF$的长度约为$8.3$米.
(2)在$Rt\triangle DBN$中,$\angle DNB = 90^{\circ},\angle BDN = 45^{\circ}$,
$\therefore BD=\frac{BN}{\sin\angle BDN}=\frac{BN}{\sin45^{\circ}}=273\sqrt{2}\approx384.9$米.
$\frac{650 + 5.5 + 384.9}{100}\approx10.4$(分),
$\frac{870}{70}\approx12.4$(分),$10.4＜12.4$,
$\therefore$小明先到达$B$地.