《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

13. 如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，在AC边上截取AD = BC，连接BD. (1)通过计算，判断AD²与AC·CD的大小关系；(2)求∠ABD的度数.

答案： 【解】
(1)$\because AB = AC = 1,BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
$\therefore AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2},CD = 1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$,
$\therefore AD^{2}=\frac{5 + 1-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
$\because AC\cdot CD = 1\times\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$,
$\therefore AD^{2}=AC\cdot CD$.
(2)$\because AD = BC,AD^{2}=AC\cdot CD$,
$\therefore BC^{2}=AC\cdot CD$,即$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$.
又$\because\angle C=\angle C,\therefore\triangle BCD\sim\triangle ACB$,
$\therefore\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CB}=1,\angle DBC=\angle A$,
$\therefore DB = CB = AD,\therefore\angle A=\angle ABD,\angle C=\angle BDC$.
设$\angle A = x$,则$\angle ABD = x,\angle DBC = x,\angle C = 2x$.
$\because\angle A+\angle ABC+\angle C = 180^{\circ}$,
$\therefore x + 2x+2x = 180^{\circ}$,
解得$x = 36^{\circ},\therefore\angle ABD = 36^{\circ}$.

14. 如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有________个.

答案： 3

15. 如图，已知直线y = -$\frac{1}{2}x + 2$与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与点A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与△AOB相似，则点C的坐标为________.

答案： $(-1,0)$或$(1,0)$或$(-4,0)$

16. 将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF. 已知AB=AC=3，BC=4，若以点B'，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF=________.

答案： $\frac{12}{7}$或2