《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

9. 如图，在等腰三角形ABC中，AB = AC = 10，BC = 12，则sin B等于( )
A. $\frac{3}{4}$ B. $\frac{4}{5}$ C. $\frac{5}{4}$ D. $\frac{4}{3}$

答案： B

10. 如图所示，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD的值为( )
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{4}{5}$ D. $\frac{3}{5}$

答案： D【解析】$\because$点$D$的坐标为$(0,3)$，点$C$的坐标为$(4,0)$，
$\therefore OD = 3$，$OC = 4$。连接$CD$。
$\because\angle COD = 90^{\circ}$，$\therefore CD=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。
$\because\angle OBD=\angle OCD$，
$\therefore\sin\angle OBD=\sin\angle OCD=\frac{OD}{CD}=\frac{3}{5}$。

11. 在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则sin B的值为( )
A. $\frac{1}{2}$ B. $\sqrt{2}$ C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D. $\frac{2}{3}$

答案： C

12. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，那么sin θ = ________.

答案： $\frac{4}{5}$

13. 如图，在△ABC中，AB = 10，BC = 4，sin B = $\frac{3}{5}$，求AC的长.

答案：
【解】如图，过点$A$作$AH\perp BC$，交$BC$的延长线于点$H$，则$\angle AHB = 90^{\circ}$。
$\because\sin B=\frac{AH}{AB}=\frac{3}{5}$，$AB = 10$，$\therefore AH = 6$。
在$Rt\triangle AHB$中，由勾股定理，得$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$。
又$\because BC = 4$，$\therefore HC = BH - BC = 8 - 4 = 4$，
$\therefore AC=\sqrt{HC^{2}+AH^{2}}=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=2\sqrt{13}$。

14. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，BE = 8，sin A = $\frac{12}{13}$，求菱形的边长.

答案： 【解】$\because\sin A=\frac{DE}{AD}=\frac{12}{13}$，
$\therefore$可设$DE = 12x$，则$AD = 13x$，
由勾股定理，得$AE = 5x$。
$\because$四边形$ABCD$是菱形，$\therefore AD = AB = 13x$，
$\because BE = 8$，$\therefore 13x - 5x = 8$，解得$x = 1$，
$\therefore AD = 13\times1 = 13$。
故菱形的边长为13。

15. 如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB = 3$\sqrt{2}$，AC = 5，sin C = $\frac{3}{5}$，求BC的长.

答案： 【解】作$AD\perp BC$于点$D$，
则$\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}$。
$\because AC = 5$，$\sin C=\frac{3}{5}$，$\therefore AD = AC\cdot\sin C = 3$。
在$Rt\triangle ACD$中，$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=4$。
$\because AB = 3\sqrt{2}$，
$\therefore$在$Rt\triangle ABD$中，$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=3$，
$\therefore BC = BD + CD = 7$。