《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

14. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，tan A = 2cos∠BCD.
（1）求证：BC = 2AD；
（2）若$\cos B=\frac{3}{4}$，AB = 10，求CD的长.

答案：
(1)【证明】
∵CD⊥AB，
∴tan A = $\frac{CD}{AD}$，cos∠BCD = $\frac{CD}{BC}$.
∵tan A = 2cos∠BCD，
∴$\frac{CD}{AD}=2\cdot\frac{CD}{BC}$，
∴BC = 2AD.
(2)【解】
∵cos B = $\frac{BD}{BC}=\frac{3}{4}$，BC = 2AD，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}$.
∵AB = 10，
∴AD = $\frac{2}{5}\times10 = 4$，
∴BD = 10 - 4 = 6，BC = 8，
∴CD = $\sqrt{BC^{2}-BD^{2}}=\sqrt{8^{2}-6^{2}} = 2\sqrt{7}$.

15. 如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O的圆心在格点上，求∠AED的余弦值.

答案： 【解】由图易知∠AED = ∠ABC.
∵ 在 Rt△ABC 中，AB = 2，AC = 1，
∴BC = $\sqrt{5}$，
∴cos∠AED = cos∠ABC = $\frac{AB}{BC}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
答题要点 利用与∠AED 相等的角代换.

16. 矩形ABCD中，AB = 2AD，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC.
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）求tan∠ECF的值.

答案：
(1)【证明】
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A = ∠D = 90°，
∴∠AEF + ∠AFE = 90°.
∵EF⊥EC，
∴∠AEF + ∠DEC = 90°，
∴∠AFE = ∠DEC，
∴△AEF∽△DCE.
(2)【解】
∵△AEF∽△DCE，
∴$\frac{EF}{CE}=\frac{AE}{DC}$.
∵ 矩形 ABCD 中，AB = 2AD，E 为 AD 的中点，
∴DC = AB = 2AD = 4AE，
∴tan∠ECF = $\frac{EF}{CE}=\frac{1}{4}$.

17. 在△ABC中，BC = 6，$\tan B=\frac{2}{3}$，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD∶CD = 2∶1，求△ABC的面积.

答案：
【解】如答图 1 所示，
∵BC = 6，BD : CD = 2 : 1，
∴BD = 4.
∵AD⊥BC，tan B = $\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{3}$，
∴AD = $\frac{2}{3}$BD = $\frac{8}{3}$，
∴S△ABC = $\frac{1}{2}$BC·AD = $\frac{1}{2}\times6\times\frac{8}{3}=8$.
如答图 2 所示，
∵BC = 6，BD : CD = 2 : 1，
∴BD = 12.
∵AD⊥BC，tan B = $\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{3}$，
∴AD = $\frac{2}{3}$BD = 8，
∴S△ABC = $\frac{1}{2}$BC·AD = $\frac{1}{2}\times6\times8 = 24$.
综上所述，△ABC 的面积为 8 或 24.

(第 17 题答图)