《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形$OABC$的顶点坐标分别是$O(0,0)$，$A(1,0)$，$B(2,3)$，$C(-1,2)$，若四边形$OA'B'C'$与四边形$OABC$关于原点$O$位似，且四边形$OA'B'C'$的面积是四边形$OABC$面积的$4$倍，求第一象限内点$B'$的坐标.

答案： 【解】
∵四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，
∴四边形OA′B′C′和四边形OABC的相似比为2∶1.
∵B(2,3)，
∴第一象限内点B′(2×2,3×2)，即B′(4,6).

5. 如图，在平面直角坐标系中，$\triangle OAB$的顶点$A$，$B$的坐标分别为$(1,3)$，$(4,3)$，以原点$O$为位似中心将$\triangle OAB$进行放缩.若放缩后点$A$的对应点的坐标为$(2,6)$，求点$B$的对应点的坐标.

答案： 【解】从点A的变化可以看出，位似变换将点A的横、纵坐标都乘2，
则点B应发生相同的变化，
故点B的对应点的坐标为(8,6).

6. 在平面直角坐标系中，已知线段$A_1B_1$与线段$AB$关于原点$O$中心对称，点$A_1(-1,2)$是点$A$的对应点，点$B_1$是点$B(3,1)$的对应点.
(1)画出线段$AB$和$A_1B_1$；
(2)画出线段$AB$以点$O$为位似中心，位似比为$1:2$的线段$A_2B_2$，并直接写出$\frac{OA}{AA_2}$的值.

答案：
【解】
(1)如图，线段AB和A₁B₁即为所求.
(2)如图，线段A₂B₂，线段A′₂B′₂即为所求.
∵$\frac{OA}{OA_{2}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OA}{AA_{2}} = 1$或$\frac{OA}{AA_{2}}=\frac{1}{3}$.