《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

20. 已知BD为等腰三角形ABC的腰AC上的高，BD = 1，tan∠ABD = \sqrt{3}，求CD的长．

答案：
【解】分三种情况：
①如答图 1，当$\angle BAC$为钝角，$AB = AC$时，
在$Rt\triangle ABD$中，$\because BD = 1$，$\tan\angle ABD = \sqrt{3}$，
$\therefore AD = \sqrt{3}$，$\therefore AB = 2$，$\therefore AC = 2$，$\therefore CD = 2 + \sqrt{3}$.

②如答图 2，当$\angle A$为锐角，$AB = AC$时，
在$Rt\triangle ABD$中，$\because BD = 1$，$\tan\angle ABD = \sqrt{3}$，
$\therefore AD = \sqrt{3}$，$\therefore AB = 2$，$\therefore AC = 2$，$\therefore CD = 2 - \sqrt{3}$.
③如答图 3，当$\angle A$为底角，$BC = AC$时，
$\because\tan\angle ABD = \sqrt{3}$，
$\therefore\angle ABD = 60^{\circ}$.$\because BD\perp AD$，$\therefore\angle A = 30^{\circ}$.
$\because BC = AC$，$\therefore\angle ABC = \angle A = 30^{\circ}$.
$\therefore\angle BCD = \angle A + \angle ABC = 60^{\circ}$.$\because BD = 1$，$\therefore CD = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
综上所述，$CD$的长为$2 + \sqrt{3}$或$2 - \sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

21. 阅读下列材料：
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}.
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在Rt△BCD中，CD = asin B，
在Rt△ACD中，CD = bsin A，
∴asin B = bsin A，
∴\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}.
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境. 如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A = 67°，∠B = 53°，AC = 80 m，求这片区域的面积.(结果保留根号. 参考数据：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9)

答案：

(1)【证明】如答图 1，过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$，则：
在$Rt\triangle ABD$中，$AD = c\sin B$，
在$Rt\triangle ACD$中，$AD = b\sin C$，
$\therefore c\sin B = b\sin C$，$\therefore\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.

（第 21 题答图 1）
(2)【解】如答图 2，过点$A$作$AE\perp BC$于点$E$.
$\because\angle BAC = 67^{\circ}$，$\angle B = 53^{\circ}$，
$\therefore\angle C = 60^{\circ}$.
在$Rt\triangle ACE$中，$AE = AC\cdot\sin 60^{\circ} = 80\times\frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3}(m)$.
又$\because\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin\angle BAC}$，即$\frac{80}{0.8} = \frac{BC}{0.9}$，
$\therefore BC = 90\ m$，
$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}\times90\times40\sqrt{3} = 1800\sqrt{3}(m^{2})$.

（第 21 题答图 2）
答：这片区域的面积是$1800\sqrt{3}\ m^{2}$.