《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

15 我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义. 如图，身高1.5米的小王晚上在路灯灯柱AH下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯灯泡的高度，具体做法如下：先从路灯底部A沿AM方向走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，从点M沿AM方向走4步恰好到达点P处，此时他影子的端点在点Q处. 已知A，M，P，Q在同一水平线上，路灯的灯泡O在AH上，OA⊥AQ，MN⊥AQ，BP⊥AQ，小王的步间距保持一致.
(1)请在图中画出灯泡O和影子端点Q的位置；
(2)估计灯泡的高AO，并求出影长PQ的步数.

答案：
【解】
(1)如答图所示，路灯O和影子端点Q为所求.

(2)根据题意，知AO//MN//PB，AM = 20步，MP = 4步，MN = PB = 1.5米.
∵MN//AO，
∴△PMN∽△PAO，
∴$\frac{MN}{AO}=\frac{MP}{PA}$，即$\frac{1.5}{AO}=\frac{4}{20 + 4}$，解得AO = 9.
∵PB//AO，
∴△QPB∽△QAO，
∴$\frac{PB}{AO}=\frac{PQ}{AQ}$即$\frac{1.5}{9}=\frac{PQ}{24 + PQ}$，解得PQ = $\frac{24}{5}$.
∴估计灯泡的高AO为9米，影长PQ为$\frac{24}{5}$步.

16【基础解答】如图1，AB和DE是直立在地面上的两根立柱. AB = 6 m，某一时刻AB在阳光下的投影BC = 2 m，DE在阳光下的投影长为3 m. 根据题中信息，求立柱DE的长.
【拓展拔高】如图2，古树AB在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即BC = 4 m，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高CD为1 m，同一时刻，竖直于地面上的1 m长的竹竿，影长为2 m，求这棵古树AB的高.

答案：
【解】[基础解答]如答图1，
∵DF//AC，
∴∠ACB = ∠DFE.
又
∵∠ABC = ∠DEF = 90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$.
∵AB = 6 m，BC = 2 m，EF = 3 m，
∴$\frac{6}{2}=\frac{DE}{3}$，解得DE = 9，
∴立柱DE的长为9 m.

根据题意，有BC = 4 m，CD = 1 m，MN = 1 m，NH = 2 m.
根据[基础解答]，同理可得△ABG∽△MNH，△DCG∽△MNH，
∴$\frac{AB}{BG}=\frac{MN}{NH}$，$\frac{CD}{CG}=\frac{MN}{NH}$，即$\frac{AB}{4 + CG}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{CG}=\frac{1}{2}$，
解得CG = 2，即有AB = 3 m，
∴古树AB的高为3 m.