《2025年北大绿卡九年级数学下册人教版》

6. 如图，在Rt△ABO中，$AO = \sqrt{3}$，$AB = 1$，将△ABO绕点O顺时针旋转105°至△A'B'O的位置，点E是OB'的中点，且点E在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，则k的值为______。

答案：
$\frac{1}{2}$
【解析】如图，作 EH⊥x 轴，垂足为 H.

由题意，在 Rt△BAO 中，AO = $\sqrt{3}$，AB = 1，
∴BO = $\sqrt{AB^{2}+AO^{2}}$ = 2，
∴AB = $\frac{1}{2}$BO，
∴∠AOB = 30°.
又
∵△ABO 绕点 O 顺时针旋转 105°至△A′B′O 的位置，
∴∠BOB′ = 105°，
∴∠B′OH = 45°.
∵点 E 是 OB′的中点，
∴OE = $\frac{1}{2}$BO = $\frac{1}{2}$B′O = 1.
在 Rt△EOH 中，
∵∠B′OH = 45°，
∴EH = OH = $\frac{\sqrt{2}}{2}$OE = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴E($\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$).
∵点 E 在 y = $\frac{k}{x}$的图象上，
∴k = $\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{1}{2}$.
故答案为 $\frac{1}{2}$.

7. 如图，在同一直角坐标系中，一次函数$y = -x + b$和反比例函数$y = \frac{9}{x}$的图象相交于点A(1,m)，B(n,1).
(1)求点A，点B的坐标及一次函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出不等式$-x + b＞\frac{9}{x}$的解集.

答案： 【解】
(1)把点 A(1,m)代入 y = $\frac{9}{x}$中，得 m = $\frac{9}{1}$ = 9，
∴点 A 的坐标为(1,9).
把点 B(n,1)代入 y = $\frac{9}{x}$中，得 n = $\frac{9}{1}$ = 9，
∴点 B 的坐标为(9,1).
把 x = 1，y = 9 代入 y = -x + b 中，得 -1 + b = 9，
∴b = 10，
∴一次函数的解析式为 y = -x + 10.
(2)根据一次函数和反比例函数的图象，得
当 x＜0 或 1＜x＜9 时，一次函数 y = -x + b 的图象位于反比例函数 y = $\frac{9}{x}$的图象上方，
∴ -x + b＞$\frac{9}{x}$的解集为 x＜0 或 1＜x＜9.

8. 直线$y = kx(k＞0)$与双曲线$y = \frac{2}{x}$交于A，B两点，如果A，B两点的坐标分别为A($x_1$,$y_1$)，B($x_2$,$y_2$)，那么$x_1y_2 + x_2y_1$的值为______。

答案： -4
【答题要点】依题意可得 x₁ = -x₂，y₁ = -y₂，故 x₁y₂ = -x₁y₁ = -2.

9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数$y = kx + b$的图象与反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象相交于点A(-1,n)，B(2,1).
(1)求一次函数、反比例函数的解析式；
(2)连接OA，OB，求△OAB的面积.

答案：
【解】
(1)
∵一次函数 y = kx + b 的图象与反比例函数 y = $\frac{m}{x}$的图象相交于点 A(-1,n)，B(2,1)，
∴m = 2×1 = -1·n，
∴m = 2，n = -2，
∴反比例函数的解析式为 y = $\frac{2}{x}$，A(-1,-2)，
∴$\begin{cases}-k + b = -2 \\2k + b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1 \\b = -1\end{cases}$，
∴一次函数的解析式为 y = x - 1.
(2)设直线 AB 与 y 轴交于点 C，如答图，

∵y = x - 1，
∴当 x = 0 时，y = -1，
∴C(0,-1)，
∴△OAB 的面积 = $\frac{1}{2}$OC·|x_B - x_A| = $\frac{1}{2}$×1×(2 + 1) = $\frac{3}{2}$.