《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版》

14. [2025 重庆期中]一未知的星球，为了测定其质量，在星球表面做了一实验。离地 $h$ 高，以水平速度 $v_{0}$ 抛出一小球，小球落地的水平位移为 $x$，已知星球半径为 $R$，引力常量为 $G$，不考虑星球自转和稀薄气体的影响。
（1）求未知星球表面的重力加速度 $g_{星}$。
（2）求未知星球的质量 $M$。
（3）已知未知星球绕太阳转动的轨道半长轴为 $a$，地球绕太阳公转的半径为 $r$，求该星球绕太阳公转周期是地球的多少倍。

答案： 14.（1）由平抛运动知识得$h=\frac{1}{2}g_{星}t^{2}$，$x = v_{0}t$，得出$g_{星}=\frac{2h}{x^{2}}v_{0}^{2}$.
（2）由$G\frac{Mm}{R^{2}}=mg_{星}$，得$M=\frac{R^{2}g_{星}}{G}$，
（3）由开普勒第三定律得$\frac{a^{3}}{T_{星}^{2}}=\frac{r^{3}}{T_{地}^{2}}$，

15. [山东济宁一中期中]如图所示，两颗卫星绕某行星在同一平面内做匀速圆周运动，已知卫星一运行的周期为 $T_{1}=T_{0}$，行星的半径为 $R_{0}$，卫星一和卫星二到行星中心的距离分别为 $R_{1}=2R_{0}$，$R_{2}=8R_{0}$，引力常量为 $G$。某时刻两卫星与行星中心连线之间的夹角为 $\frac{2}{3}\pi$。（结果均用 $T_{0}$、$R_{0}$、$G$ 表示）

（1）求行星的质量 $M$。
（2）求行星的第一宇宙速度。
（3）从图示时刻开始，经过多长时间两卫星第一次相距最远？

答案： 15.（1）对卫星一，行星对其的万有引力充当向心力，则$\frac{GMm}{R_{1}^{2}}=mR_{1}(\frac{2\pi}{T_{0}})^{2}$，解得$M=\frac{32\pi^{2}R_{1}^{3}}{GT_{0}^{2}}$.
（2）根据$\frac{GMm'}{R_{0}^{2}}=m'\frac{v^{2}}{R_{0}}$，则$v=\sqrt{\frac{GM}{R_{0}}}$，解得$v=\frac{4\sqrt{2}\pi R_{0}}{T_{0}}$.
（3）由开普勒第三定律$\frac{R_{3}^{3}}{T_{2}^{2}}=\frac{R_{地}^{3}}{T_{地}^{3}}$，得$T_{2}=8T_{1}=8T_{0}$.
当相距最远时满足$\omega_{1}t-\omega_{2}t=\frac{1}{3}\pi$，即$\frac{2\pi}{T_{0}}t-\frac{2\pi}{T_{2}}t=\frac{1}{3}\pi$，
解得$t=\frac{4}{21}T_{0}$.