《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版》

7. [2025 河北廊坊月考]如图所示，已知均匀球体对其他物体的万有引力等效于将其全部质量集中于球心时对其他物体的万有引力，如图所示，有一半径为 $R$ 的均匀球体，球心为 $O_{1}$，质量为 $8M$，今在其内挖去一个半径为 $\frac{R}{2}$ 的小球，形成球形腔的球心为 $O_{2}$，将小球移出至图示位置与大球相切，小球球心为 $O_{3}$，图中 $O_{1}$、$O_{2}$、切点及 $O_{3}$ 点共线，关于挖去后的剩余部分对小球的引力，下列说法正确的是(BC)


A.可以直接利用万有引力定律进行计算大小
B.不可以直接利用万有引力定律进行计算大小
C.大小为 $\frac{23GM^{2}}{9R^{2}}$
D.大小为 $\frac{25GM^{2}}{7R^{2}}$

答案： 7.BC 挖去后的部分不是质量分布均匀的球体，所以无法利用万有引力定律直接计算引力的大小，A错误，B正确；根据体积公式$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}$，挖去的半径为$\frac{R}{2}$的小球的体积为原来球的体积的$\frac{1}{8}$，则其质量为原球质量的$\frac{1}{8}$，即为$M$，用没挖之前球对质点的引力，减去被挖部分对质点的引力$F=\frac{G8M· M}{(3R÷2)^{2}}-\frac{GM· M}{R^{2}}=\frac{23GM^{2}}{9R^{2}}$，C正确，D错误.

8. [2024 四川绵阳期中]已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间 $t$($t$ 小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为 $s$，航天器与月球的中心连线扫过的角度为 $\theta$，引力常量为 $G$，则(BC)

A.航天器的轨道半径为 $\frac{\theta}{s}$
B.航天器的环绕周期为 $\frac{2\pi t}{\theta}$
C.月球的质量为 $\frac{s^{3}}{Gt^{2}\theta}$
D.月球的密度为 $\frac{3\pi}{Gt^{2}}$

答案： 8.BC 根据弧长公式$s = \theta r$，解得航天器的轨道半径为$r=\frac{s}{\theta}$，A错误；航天器的角速度为$\omega=\frac{\theta}{t}$，则航天器的环绕周期为$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi\theta}{s}$，B正确；根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{r^{2}}=m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，可得月球的质量为$M=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}=\frac{s^{3}}{Gt^{2}\theta}$，C正确；人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，则月球的半径为$r$，根据$M=\rho·\frac{4}{3}\pi r^{3}$，解得月球的密度为$\rho=\frac{3s^{3}}{4\pi Gt^{2}\theta(\frac{s}{\theta})^{3}}=\frac{3\theta^{2}}{4\pi Gt^{2}}$，D错误.

9. 发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道 1，然后点火，使其沿椭圆轨道 2 运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道 3。轨道 1、2 相切于 $Q$ 点，轨道 2、3 相切于 $P$ 点，如图所示，则当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时，下列说法正确的是(BD)


A.卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 1 上的速率
B.卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道 1 上的角速度
C.卫星在轨道 1 上经过 $Q$ 点时的加速度大于它在轨道 2 上经过 $Q$ 点时的加速度
D.卫星在轨道 2 上经过 $P$ 点时的加速度等于它在轨道 3 上经过 $P$ 点时的加速度

答案： 9.BD 根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r}=m\omega^{2}r$，解得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，$\omega=\sqrt{\frac{GM}{r^{3}}}$，可知轨道半径越大，速率和角速度都越小，A错误，B正确；在同一点万有引力相等，由牛顿第二定律知，加速度也相等，C错误，D正确.
方法技巧 卫星变轨问题
（1）当卫星的速度突然增加时，有$G\frac{Mm}{r^{2}}＜m\frac{v^{2}}{r}$，万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大.当卫星进入新的轨道稳定运行时，由$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$可知，其运行速度比原轨道时的小.
（2）当卫星的速度突然减小时，有$G\frac{Mm}{r^{2}}＞m\frac{v^{2}}{r}$，万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小.当卫星进入新的轨道稳定运行时，由$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$可知，其运行速度比原轨道时的大.

10. (探究题[湖南卷]如图所示，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的 1.5 倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是(CD)


A.火星的公转周期大约是地球的 $\sqrt{\frac{8}{27}}$ 倍
B.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D.在冲日处，火星相对于地球的速度最小

答案： 10.CD 由题意根据开普勒第三定律可知$\frac{r_{地}^{3}}{T_{地}^{2}}=\frac{r_{火}^{3}}{T_{火}^{2}}$，火星的轨道半径大约是地球轨道半径的1.5倍，则可得$T_{火}=\sqrt{\frac{27}{8}}T_{地}$，故A错误；根据$G\frac{Mm}{r^{2}}=\frac{mv^{2}}{r}$，由于火星的轨道半径大于地球的轨道半径，故火星运行线速度小于地球运行线速度，所以在冲日处火星相对于地球由东向西运动，为逆行，故B错误，C正确；由于火星和地球运动的线速度大小不变，在冲日处火星和地球速度方向相同，故相对速度最小，故D正确.

11. [2025 云南大理月考]在某星球表面，宇航员利用图示装置测星球表面的重力加速度，铁架台放在水平台面上，上端固定电磁铁 $M$，接通电磁铁 $M$ 的开关后能吸住小球，电磁铁正下方安装一个位置可上下调节的光电门 $A$。实验中测出小球的直径为 $d$、小球球心与光电门中心的高度差为 $h$，断开开关，小球自由下落，记录小球通过光电门的挡光时间 $t$，调整光电门位置，得出多组 $h$、$t$ 数据。

(1)实验中，小球经过光电门时的瞬时速度大小 $v=$$\frac{d}{t}$(用给定的物理量符号表示)。
(2)实验中，多次实验得到多组 $h$、$t$ 数据后，数据处理时应绘制 $h-\frac{1}{t^{2}}$ 图像，得出的图像斜率为 $k$，则该星球的重力加速度 $g=$$\frac{d^{2}}{2k}$(用 $d$、$k$ 表示)。
(3)星球表面的重力加速度已在第(2)问中测出，若宇航员测得该星球的半径为 $R$，已知引力常量为 $G$，则该星球的质量 $M=$$\frac{d^{2}R^{2}}{2Gk}$(用 $G$、$R$、$d$、$k$ 表示)。

答案： 11.（1）$\frac{d}{t}$ （2）$\frac{d^{2}}{2k}$ （3）$\frac{d^{2}R^{2}}{2Gk}$
解析：（1）小球经过光电门时的瞬时速度大小$v=\frac{d}{t}$.
（2）小球自由下落$h$，由$v^{2}=2gh$解得$h=\frac{v^{2}}{2g}=\frac{d^{2}}{2g}$.
$\frac{1}{t^{2}}$，由$h-\frac{1}{t^{2}}$图像的斜率为$k$，得$k=\frac{d^{2}}{2g}$，则该星球的重力加速度$g=\frac{d^{2}}{2k}$.
（3）物体在星球表面的重力等于物体受到星球的万有引力$G\frac{Mm}{R^{2}}=mg$，解得$M=\frac{gR^{2}}{G}=\frac{d^{2}R^{2}}{2Gk}$.