《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版》

8. 2019 年 4 月 10 日 21 时，人类首张黑洞照片在全球六地的视界望远镜发布会上同步发布，如图所示.该黑洞半径为$R$，质量$M$和半径$R$的关系满足：$\frac{M}{R} = \frac{c^{2}}{2G}$(其中$c$为真空中的光速，$G$为引力常量).若天文学家观测到距黑洞中心距离为$r$的天体以速度$v$绕该黑洞做匀速圆周运动，则(AC)


A.该黑洞的质量为$\frac{v^{2}r}{G}$
B.该黑洞的质量为$\frac{2v^{2}r}{G}$
C.该黑洞的半径为$\frac{2v^{2}r}{c^{2}}$
D.该黑洞的半径为$\frac{v^{2}r}{2c^{2}}$

答案： 8. AC 黑洞对天体的万有引力提供天体做圆周运动所需的向心力，有$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}，$解得$M = \frac{v^{2}r}{G}，$A正确，B错误；该黑洞的半径为R，质量M和半径R的关系满足$\frac{M}{R} = \frac{c^{2}}{2G}，$联立解得$R = \frac{2v^{2}r}{c^{2}}，$C正确，D错误.

9. (探究题)如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动.在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线的夹角$\alpha$，地球—金星连线与地球—太阳连线的夹角$\beta$，两角最大值分别为$\alpha_{m}$、$\beta_{m}$，则(BC)


A.水星的公转周期比金星的大
B.水星的公转向心加速度比金星的大
C.水星与金星的公转轨道半径之比为$\sin\alpha_{m}:\sin\beta_{m}$
D.水星与金星的公转线速度大小之比为$\sqrt{\sin\alpha_{m}}:\sqrt{\sin\beta_{m}}$

答案： 9. BC 根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{R^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}R = ma，$可得$T = 2\pi\sqrt{\frac{R^{3}}{GM}}，$$a = \frac{GM}{R^{2}}，$因为水星的公转半径比金星的小，故可知水星的公转周期比金星的小；水星的公转向心加速度比金星的大，故A错误，B正确.设水星的公转半径为$R_{水}，$地球的公转半径为$R_{地}，$当$\alpha$角最大时有$\sin\alpha_{m} = \frac{R_{水}}{R_{地}}，$同理可知有$\sin\beta_{m} = \frac{R_{金}}{R_{地}}，$所以水星与金星的公转轨道半径之比为$R_{水} : R_{金} = \sin\alpha_{m} : \sin\beta_{m}，$故C正确.根据$G\frac{Mm}{R^{2}} = m\frac{v^{2}}{R}，$可得$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}，$结合前面的分析可得$v_{水} : v_{金} = \sqrt{\sin\beta_{m}} : \sqrt{\sin\alpha_{m}}，$故D错误.

10. [2024 江苏苏州期中]一探月卫星绕月球做匀速圆周运动时到月球表面的距离为$h$，已知引力常量为$G$，月球质量为$M$，月球半径为$R$，不计其他星体和月球自转的影响.求：
（1）探月卫星绕月做匀速圆周运动的周期；
（2）探月卫星绕月球做匀速圆周运动的向心加速度与月球表面附近的重力加速度的大小之比.

答案： 10.
(1)依题意，设探月卫星的质量为m，由万有引力提供向心力，有$\frac{GMm}{(R + h)^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}(R + h)，$解得$T = \sqrt{\frac{4\pi^{2}(R + h)^{3}}{GM}}。$
(2)探月卫星绕月球做匀速圆周运动的向心加速度为$a = \frac{GMm}{(R + h)^{2}} = \frac{GM}{(R + h)^{2}}，$月球表面附近的重力加速度满足$\frac{GMm}{R^{2}} = mg，$解得$g = \frac{GM}{R^{2}}，$则有$\frac{a}{g} = \frac{R^{2}}{(R + h)^{2}}。$

11. [2025 广东汕头模拟]在登陆某行星的过程中，探测器在接近行星表面时打开降落伞，速度从$v_{1} = 100$ m/s 降至$v_{2} = 40$ m/s 后开始匀速下落.此时启动“背罩分离”，探测器与降落伞断开连接，5 s 后推力为 8 000 N 的反推发动机启动，速度减至 0 时恰落到地面上.设降落伞所受的空气阻力为$f = kv$，其中$k$为定值，$v$为速率，其余阻力不计，设全过程为竖直方向的运动.已知探测器质量为 1 000 kg，降落伞和背罩质量忽略不计，该行星的质量和半径分别为地球的$\frac{1}{10}$和$\frac{1}{2}$，地球表面重力加速度大小$g$取 10 m/s².求：
（1）该行星表面的重力加速度大小；
（2）刚打开降落伞瞬间探测器加速度大小；
（3）反推发动机启动时探测器距离地面高度.

答案： 11.
(1)在星球表面，根据万有引力等于重力$G\frac{Mm}{R^{2}} = mg，$可得$g = \frac{GM}{R^{2}}，$行星的质量和半径分别为地球的$\frac{1}{10}$和$\frac{1}{2}.$地球表面重力加速度大小$g = 10m/s^{2}，$可得该行星表面的重力加速度大小$g' = \frac{M_{行}}{M_{地}}(\frac{R_{地}}{R_{行}})^{2}g = 4m/s^{2}。$
(2)打开降落伞后当速度为40m/s时匀速阶段有$kv_{2} = mg'，$刚打开降落伞时瞬间速度为100m/s，由牛顿第二定律$kv_{1} - mg' = ma，$得$a = 6m/s^{2}。$
(3)反推发动机启动时探测器速度为$v_{3} = v_{2} + g't，$探测器加速度为$F - mg' = ma_{1}，$减速到速度为0时$v_{3}^{2} = 2a_{1}h，$得h = 450m。