《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版》

8. 某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为 r,则下列说法正确的是 (BD)

A.根据公式 $ v = r\omega $ 可知,该卫星运行的线速度 v 与轨道半径 r 成正比
B.根据公式 $ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} $ 可知,该卫星运行的线速度 v 与 $\sqrt{r}$ 成反比
C.根据公式 $ F = m\frac{v^2}{r} $ 可知,该卫星运行的线速度平方 $ v^2 $ 与轨道半径 r 成正比
D.根据公式 $ F = G\frac{Mm}{r^2} $ 可知,该卫星需要的向心力与 $ r^2 $ 成反比

答案： 8. BD 卫星轨道高度不同，角速度不同，所以卫星运行的线速度与半径不成正比，A错误；由万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}$，解得$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$，B正确，C错误；根据万有引力定律，有$F = G\frac{Mm}{r^{2}}$，可知该卫星需要的向心力与$r^{2}$成反比，D正确.

9. 如图所示,A 是静止在赤道上的物体,随地球自转而做匀速圆周运动;B、C 是同一平面内的两颗人造卫星,B 位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上,C 是地球同步卫星.已知第一宇宙速度为 v,物体 A 和卫星 B、C 的线速度大小分别为 $ v_A $、$ v_B $、$ v_C $,角速度大小分别为 $ \omega_A $、$ \omega_B $、$ \omega_C $,周期大小分别为 $ T_A $、$ T_B $、$ T_C $,向心加速度大小分别为 $ a_A $、$ a_B $、$ a_C $,则下列关系正确的是 (AC)


A.$ \omega_B ＞ \omega_C = \omega_A $
B.$ T_A ＜ T_B ＜ T_C $
C.$ v_A ＜ v_C ＜ v_B ＜ v $
D.$ a_A ＜ a_B ＜ a_C $

答案： 9. AC
规律总结 近地卫星、同步卫星、赤道上的物体的比较
近地卫星（$r_1$、$\omega_1$、$v_1$、$a_1$） 同步卫星（$r_2$、$\omega_2$、$v_2$、$a_2$） 赤道上随地球自转的物体（$r_3$、$\omega_3$、$v_3$、$a_3$）
向心力 万有引力 万有引力 万有引力减去支持力
轨道半径 $r_2 ＞ r_3 = r_1$
由$\frac{Gm_{地}m}{r^{2}} = m\omega^{2}r$，得$\omega = \sqrt{\frac{Gm_{地}}{r^{3}}}$，同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，故$\omega_1 ＞ \omega_2 = \omega_3$
由$\frac{Gm_{地}m}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}$，得$v = \sqrt{\frac{Gm_{地}}{r}}$，故$v_1 ＞ v_2 ＞ v_3$
由$\frac{Gm_{地}m}{r^{2}} = ma_n$，得$a_n = \frac{Gm_{地}}{r^{2}}$，故$a_1 ＞ a_2 ＞ a_3$

10. [2025 贵州月考]2025 年 1 月 17 日,我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭,成功将巴基斯坦 PRSC - EO1 卫星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务获得圆满成功.已知地球的半径为 R,地球表面的重力加速度大小为 g,卫星入轨后在距地面高度为 kR(k 为大于 1 的常数)的轨道上做匀速圆周运动.求:
(1) 地球的第一宇宙速度 $ v_1 $;
(2) 卫星的向心加速度大小 a;
(3) 卫星绕地球运行的线速度大小 v.

答案： 10.
(1)第一宇宙速度是卫星在地球表面附近做匀速圆周运动的速度.此时，卫星受到的万有引力近似等于重力，且万有引力提供向心力，设卫星质量为$m$，则有$mg = m\frac{v_1^{2}}{R}$，解得$v_1 = \sqrt{gR}$.
(2)设地球质量为$M$，对卫星，由牛顿第二定律有$\frac{GMm}{(R + kR)^{2}} = ma$，因为$GM = gR^{2}$，联立解得卫星的向心加速度大小$a = \frac{g}{(1 + k)^{2}}$.
(3)根据$\frac{GMm}{(R + kR)^{2}} = m\frac{v^{2}}{R + kR}$，其中$GM = gR^{2}$，联立解得$v = \sqrt{\frac{gR}{1 + k}}$.

11. 近年来,中国的航天实力表演十分抢眼,假如将来某天我国宇航员乘坐的宇宙飞船到达某适宜人类居住的星球,在该星球“北极”距地面 h 处由静止释放一个小球(引力视为恒力,阻力可忽略,h 远小于该星球半径),经过时间 t 落到地面.已知该星球半径为 R,自转周期为 T,引力常量为 G.
(1) 求该星球的平均密度 $ \rho $.
(2) 求该星球的第一宇宙速度 v.
(3) 如果该星球有一颗同步卫星,其距星球表面的高度 H 为多少?

答案： 11.
(1)设该星球表面的重力加速度为$g$，小球做自由落体运动，则有$h = \frac{1}{2}gt^{2}$，解得$g = \frac{2h}{t^{2}}$，根据物体在星球表面受到的万有引力等于重力，则有$\frac{GM}{R^{2}} = mg$，解得星球的质量为$M = \frac{2hR^{2}}{Gt^{2}}$，故该星球的平均密度为$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^{3}} = \frac{3h}{2\pi Gt^{2}R}$.
(2)该星球的第一宇宙速度等于卫星在该星球表面绕星球做匀速圆周运动时的线速度，由万有引力提供向心力得$\frac{GMm'}{R^{2}} = m'\frac{v^{2}}{R}$，解得$v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \frac{\sqrt{2hR}}{t}$.
(3)同步卫星的周期与该星球的自转周期相同，均为$T$，设同步卫星的质量为$m_0$，由万有引力提供向心力，得$\frac{GMm_0}{(R + H)^{2}} = m_0\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}(R + H)$.联立解得同步卫星距该星球表面的高度为$H = \sqrt[3]{\frac{hT^{2}R^{2}}{2\pi^{2}t^{2}}} - R$.