《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版》

1. 2021 年 2 月，执行我国火星探测任务的“天问”一号探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为 $1.8×10^{5}$ s 的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为 $2.8×10^{5}$ m。已知火星半径约为 $3.4×10^{6}$ m，火星表面处自由落体的加速度大小约为 $3.7$ m/s²，则“天问”一号的停泊轨道与火星表面的最远距离约为(C)

A.$6×10^{5}$ m
B.$6×10^{6}$ m
C.$6×10^{7}$ m
D.$6×10^{8}$ m

答案： 1. C 在火星表面附近绕火星做圆周运动的物体，$mg = m \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} R_{火}$，根据开普勒第三定律，有$(\frac{l_{近} + 2R_{火} + l_{远}}{2})^{3} = \frac{R_{火}^{3}}{T^{2}}$，代入数据联立解得$l_{远} = 6 × 10^{7} m$，故C正确.

2. [江苏徐州期中]电影《流浪地球 2》中的“太空电梯”引起热议。其原理如图所示，通过缆绳将位于地球同步轨道的空间站一边连接在地面的基座上，另一边连接配重厢，整个“太空电梯”和地面保持相对静止。关于“太空电梯”，下列说法正确的是(B)

A.地面基座可以在徐州修建
B.配重厢的线速度大于空间站的线速度
C.缆绳对配重厢的作用力背离地心向外
D.空间站的线速度大于第一宇宙速度

答案： 2. B 整个“太空电梯”和地面保持相对静止，则整个同步轨道一定在赤道的正上方，所以地面基座不可以在徐州修建，故A错误；根据“太空电梯”的结构可知，配重厢和同步空间站的角速度一样，根据$v = \omega r$，由于空间站的环绕半径小于配重厢的环绕半径，由此可知配重厢的线速度大于空间站的线速度，故B正确；若无拉力作用，则由$G \frac{Mm}{r^{2}} = m \frac{v^{2}}{r}$，得$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$，可知轨道越高，运行速度越慢，但是配重厢的线速度大于空间站的线速度，由此可知缆绳对配重厢的作用力要指向地心，由万有引力和指向地心的拉力的合力提供配重厢做圆周运动的向心力，才能与地面保持相对静止，故C错误；第一宇宙速度是近地卫星的最大绕行速度，同步轨道空间站的线速度小于第一宇宙速度，故D错误.

3. [2024 江苏南通期中]如图所示，两个远离星系的天体，它们在彼此之间的引力作用下互相环绕，A 的转动半径较小，其他天体对它们的作用可忽略不计，下列说法正确的是(B)

A.在相同的时间内 A 转过的角度大
B.在相同的时间内 A 通过的弧长小
C.若 A、B 的中心间距变小，则转动周期逐渐增大
D.若 A 为黑体且逐渐吞噬 B，而两者的中心间距不变，则转动周期逐渐增大

答案：
3. B 双星系统中两天体的角速度大小相等，由$\theta = \omega t$可得，在相同的时间内，两天体转过的角度相等，故A错误；两天体的角速度大小相等，由线速度公式$v = \omega r$可得，$r_{B} ＞ r_{A}$，所以线速度$v_{B} ＞ v_{A}$，由天体走过的弧长公式$l = vt$，可得$l_{B} ＞ l_{A}$，故B正确；设$A$、$B$的中心间距为$L$，由万有引力定律及牛顿第二定律得$G \frac{m_{A}m_{B}}{L^{2}} = m_{A} \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} r_{A} = m_{B} \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} r_{B}$，其中$L = r_{A} + r_{B}$，联立解得$T^{2} = \frac{4\pi^{2}L^{3}}{G(m_{A} + m_{B})}$，由上式可知，若$A$、$B$的中心间距变小，则转动周期逐渐减小，若$A$为黑体且逐渐吞噬$B$，两天体的质量之和不变，而两者的中心间距不变，则转动周期也不变，故C、D错误.
模型归纳 双星模型
情境导图

运动特点 转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不等
受力特点 两星间的万有引力提供两星做圆周运动的向心力
解题规律 $G \frac{m_{1}m_{2}}{L^{2}} = m_{1}\omega^{2}r_{1}$，$\frac{Gm_{1}m_{2}}{L^{2}} = m_{2}\omega^{2}r_{2}$
解题关键 $m_{1}r_{1} = m_{2}r_{2}$，$r_{1} + r_{2} = L$

4. [山东济宁一中期中]探月工程“嫦娥”四号的“鹊桥”中继星成为世界首颗成功进入地月拉格朗日 $L_{2}$ 点的 Halo 使命轨道的卫星，为地月信息联通搭建“天桥”。如图所示，该 $L_{2}$ 点位于地球与月球连线的延长线上，“鹊桥”位于该点，与月球同步绕地球做圆周运动。已知地球、月球和“鹊桥”的质量分别为 $M_{e}$、$M_{m}$、$m$，地球和月球之间的平均距离为 $R$，$L_{2}$ 点离月球的距离为 $x$，不计“鹊桥”对月球的影响，则(D)

A.月球的线速度大于“鹊桥”的线速度
B.“鹊桥”的向心加速度小于月球的向心加速度
C.$x$ 满足 $\frac{M_{e}}{(R + x)^{2}} + \frac{M_{m}}{x^{2}} = \frac{m}{R^{3}}(R + x)$
D.$x$ 满足 $\frac{M_{e}}{(R + x)^{2}} + \frac{M_{m}}{x^{2}} = \frac{M_{e}}{R^{3}}(R + x)$

答案： 4. D “鹊桥”的角速度等于月球的角速度，根据$v = \omega r$，由于“鹊桥”的轨道半径大于月球的轨道半径，可知“鹊桥”的线速度大于月球的线速度，故A错误；由$a = \omega^{2}r$，可知“鹊桥”的向心加速度大于月球的向心加速度，故B错误；“鹊桥”绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球引力和月球引力共同提供，则有$\frac{GM_{地}m}{(R + x)^{2}} + \frac{GM_{月}m}{x^{2}} = m\omega^{2}(R + x)$，月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球引力提供，则有$\frac{GM_{地}M_{月}}{R^{3}} = M_{月}\omega^{2}R$，联立可得

5. [2025 山东济南模拟]如图所示为地球的赤道平面图，地球以图示的方向自西向东自转。设想在赤道上，质量为 $m$ 的物体以相对于地面的速度 $v$ 分别自西向东和自东向西高速运动时，两种情况下物体对水平地面压力大小之差的绝对值为 $\Delta N$。地球可视为质量均匀球体，则地球的自转周期为(A)

A.$\frac{8\pi mv}{\Delta N}$
B.$\frac{4\pi mv}{\Delta N}$
C.$\frac{8\pi^{2}mv}{\Delta N}$
D.$\frac{4\pi^{2}mv}{\Delta N}$

答案： 5. A 设地球自转角速度为$\omega$，地球半径为$R$，地球对质量为$m$的物体的吸引力为$F_{引}$，物体以相对于地面的速度$v$分别自西向东转动时有$m \frac{(v + \omega R)^{2}}{R} = F_{引} - F_{N1}$，自东向西转动时有$m \frac{(v - \omega R)^{2}}{R} = F_{引} - F_{N2}$，由题意可知$\Delta N = \frac{m(v + \omega R)^{2}}{R} - \frac{m(v - \omega R)^{2}}{R}$，整理可得$\omega = \frac{\Delta N}{4m\omega}$，又$\omega = \frac{2\pi}{T}$，故地球自转周期$T = \frac{8\pi mv}{\Delta N}$，故A正确.

6. [2024 安徽芜湖期初]我国发射的“嫦娥”五号卫星在距月球表面高度为 $h$ 的轨道上做匀速圆周运动，其运行的周期为 $T$；通过调节速度可以实现变换运行轨道并最终使卫星在月球上软着陆，若以 $R$ 表示月球的半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响，则(BD)

A.“嫦娥”五号绕月运行时的向心加速度大小为 $\frac{4\pi^{2}R}{T^{2}}$
B.月球的第一宇宙速度大小为 $\frac{2\pi\sqrt{R(R + h)^{3}}}{RT}$
C.“嫦娥”五号从较高轨道到较低轨道需点火加速
D.物体在月球表面自由下落时的加速度大小为 $\frac{4\pi^{2}(R + h)^{3}}{T^{2}R^{2}}$

答案： 6. BD 对“嫦娥”五号卫星，有$a = \omega^{2}(R + h) = \frac{4\pi^{2}(R + h)}{T^{2}}$，A错误；对“嫦娥”五号卫星，根据万有引力提供向心力，有$G \frac{Mm}{(R + h)^{2}} = m \frac{4\pi^{2}(R + h)}{T^{2}}$，月球的第一宇宙速度等于近月卫星的线速度，则有$G \frac{Mm}{R^{2}} = \frac{v^{2}}{mR}$，解得$v = \frac{2\pi\sqrt{R(R + h)^{3}}}{RT}$，B正确；“嫦娥”五号从较高轨道到较低轨道需要点火向前喷气减速，C错误；物体在月球表面有$G \frac{Mm}{R^{2}} = mg$，结合上述分析解得$g = \frac{4\pi^{2}(R + h)^{3}}{T^{2}R^{2}}$，D正确.