《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版》

7. 2022 年 3 月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约 400 km 的“天宫”二号空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课. 通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫”二号中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们(CD)

A.所受地球引力的大小近似为 0
B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为 0
C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D.在地球表面上所受引力的大小大于其随飞船运动所需向心力的大小

答案： 7. CD 在近地圆轨道上飞行的“天宫”二号中，航天员所受地球的引力提供向心力，飞船对其作用力近似为0，故A、B错误，C正确；航天员在地球表面上所受引力的大小$F_{1} = G\frac{Mm}{R^{2}}$，航天员随飞船运动所需向心力的大小等于地球的引力的大小，即$F_{2} = G\frac{Mm}{r^{2}}$，因为$r ＞ R$，所以在地球表面上所受引力的大小$F_{1}$大于其随飞船运动所需向心力的大小$F_{2}$，故D正确。

8. 如图所示，三颗质量均为 $ m $ 的地球同步卫星等间隔分布在半径为 $ r $ 的圆轨道上，设地球质量为 $ M $，半径为 $ R $. 下列说法正确的是(BC)


A.地球对一颗卫星的引力大小为 $ \frac{GMm}{(r - R)^2} $
B.一颗卫星对地球的引力大小为 $ \frac{GMm}{r^2} $
C.两颗卫星之间的引力大小为 $ \frac{Gm^2}{3r^2} $
D.三颗卫星对地球引力的合力大小为 $ \frac{3GMm}{r^2} $

答案： 8. BC 根据万有引力定律，可知地球与一颗卫星间的引力大小$F = G\frac{m_{地}m}{r^{2}}$，A错误，B正确；三颗卫星等间隔分布，由几何关系可知，任意两颗卫星之间的距离为$\sqrt{3}r$，故两颗卫星之间的引力大小$F = G\frac{mm}{3r^{2}}$，C正确；任意两颗卫星对地球引力的夹角为$120^{\circ}$，故任意两颗卫星对地球引力的合力与第三颗卫星对地球的引力大小相等、方向相反，三颗卫星对地球引力的合力大小为零，D错误。

9. 用弹簧测力计测量一个相对于地球静止且质量为 $ m $ 的小物体的重力，随测量位置的变化可能会有不同的结果. 已知地球质量为 $ m_{地} $，引力常量为 $ G $，将地球视为半径为 $ R $、质量均匀分布的球体. 下列说法正确的是(AC)

A.在南极地面测量时，弹簧测力计读数为 $ F_0 = G \frac{m_{地}m}{R^2} $
B.在赤道地面测量时，弹簧测力计读数为 $ F_1 = G \frac{m_{地}m}{R^2} $
C.在南极上空高出地面 $ h $ 处的高山上测量时，弹簧测力计读数为 $ F_2 = G \frac{m_{地}m}{(R + h)^2} $
D.在赤道上空高出地面 $ h $ 处的高山上测量时，弹簧测力计读数为 $ F_3 = G \frac{m_{地}m}{(R + h)^2} $

答案：
9. AC 小物体在两极地面时，万有引力等于重力，则有$F_{0} = G\frac{m_{地}m}{R^{2}}$，故A正确；在赤道地面测量时，万有引力提供重力和小物体$m$随地球一起自转所需要的向心力，则有$F_{1} ＜ G\frac{m_{地}m}{R^{2}}$，故B错误；在南极上空高出地面$h$处的高山上测量时，万有引力等于重力，则有$F_{2} = G\frac{m_{地}m}{(R + h)^{2}}$，故C正确；在赤道上空高出地面$h$处的高山上测量时，万有引力的一个分力提供向心力，另一个分力为重力，则有$F_{3} ＜ G\frac{m_{地}m}{(R + h)^{2}}$，故D错误。
规律总结 地球表面处重力与万有引力的关系
除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力。地球对物体引力的一个分力$F'$提供向心力，另一个分力为重力$mg$，如图所示。
(1)当物体在两极时：$mg_{0} = F_{引}$，重力达到最大值，$mg_{0} = G\frac{m_{地}m}{R^{2}}$，方向与引力方向相同，指向地心。
(2)当物体在赤道上时：$F' = m\omega^{2}R$最大，此时重力最小，$mg_{1} = G\frac{m_{地}m}{R^{2}} - m\omega^{2}R$，方向与引力方向相同，指向地心。
(3)由于地球自转角速度非常小，在忽略地球自转的情况下，认为$mg = G\frac{m_{地}m}{R^{2}}$。

10. 如图所示，一个质量为 $ M $ 的匀质实心球，半径为 $ R $，如果从球上挖去一个直径为 $ R $ 的球，放在相距为 $ d $ 的地方. 那么挖去部分对剩余部分的万有引力为多大？（引力常量为 $ G $）

答案： 10. 根据$m = \rho · \frac{4}{3}\pi r^{3}$知，挖去部分的小球占整个实心球质量的$\frac{1}{8}$，即挖去部分的质量为$m = \frac{M}{8}$。
设球为实心球，实心球对直径为$R$的小球的引力为$F = G\frac{Mm}{d^{2}} = G\frac{M^{2}}{8d^{2}}$，
挖去部分对直径为$R$的小球的引力为$F' = G\frac{\frac{M}{8} · \frac{M}{8}}{d^{2}} = \frac{GM^{2}}{64d^{2}}$，
则挖去部分对剩余部分的万有引力大小为$F'' = F - F' = \frac{7GM^{2}}{64d^{2}}$。

11. 一物体在地球表面时重 16 N，它在以 $ 5 m/s^2 $ 的加速度加速上升的火箭中测得视重为 9 N，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径的多少倍？（$ g $ 取 $ 10 m/s^2 $）

答案： 11. 设此时火箭上升到离地球表面高度$h$处，火箭中物体的视重等于物体受到的支持力$F_{N}$。物体受到的重力为$mg'$，其中$g'$是高为$h$处的重力加速度，由牛顿第二定律得$F_{N} - mg' = ma$，①
其中$m = \frac{G}{g}$，代入①式，
得$mg' = F_{N} - \frac{G}{g}a = (9 - \frac{16}{10} × 5)N = 1N$。
在距离地面高度为$h$处，物体的重力为$1N$，物体的重力等于万有引力。
在地球表面，有$mg = G\frac{Mm}{R_{地}^{2}}$，②
在距离地面$h$高处，有$mg' = G\frac{Mm}{(R_{地} + h)^{2}}$，③
②与③相除可得$\frac{mg}{mg'} = \frac{(R_{地} + h)^{2}}{R_{地}^{2}}$，
所以$R_{地} + h = \sqrt{\frac{mg}{mg'}} · R_{地} = \sqrt{\frac{16}{1}} · R_{地} = 4R_{地}$，故$h = 3R_{地}$，故此时火箭离地球表面的距离为地球半径的3倍。