《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版》

1. [江西南昌期中]若太阳质量为 $ M $，某行星绕太阳公转的周期为 $ T $，轨道可视为半径为 $ r $ 的圆。已知引力常量为 $ G $，则描述该行星运动的上述物理量满足(A)

A.$ GM=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{T^{2}} $
B.$ GM=\frac{4\pi^{2}r^{2}}{T^{2}} $
C.$ GM=\frac{4\pi^{2}r^{2}}{T^{3}} $
D.$ GM=\frac{4\pi r^{3}}{T^{2}} $

答案： 1.A 由万有引力提供向心力，有$\frac{GMm}{r^{2}} = m\frac{r^{2}}{r} = m\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}}$，得$GM = \frac{4\pi^{2}r^{3}}{T^{2}}$，A正确.

2. [2024 云南昆明阶段练习]在太阳系之外，科学家发现了一颗最适宜人类居住的类地行星，绕恒星橙矮星运行，命名为“开普勒 - 438b”。其运行的周期为地球运行周期的 $ p $ 倍，轨道半径为日地距离的 $ q $ 倍。假设该行星绕恒星的运动与地球绕太阳的运动均可看作匀速圆周运动，则橙矮星与太阳的质量之比为(B)

A.$ \frac{p^{2}}{q^{3}} $
B.$ \frac{q^{3}}{p^{2}} $
C.$ \frac{q^{2}}{p^{3}} $
D.$ \frac{p^{3}}{q^{2}} $

答案： 2.B 由万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，解得$M = \frac{4\pi^{2}}{GT^{2}}r^{3}$，则橙矮星与太阳的质量之比为$\frac{M_{1}}{M_{2}} = \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}·\frac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}} = \frac{q^{3}}{p^{2}}$，故B正确.

3. [全国乙卷]科学家对银河系中心附近的恒星 S2 进行了多年的持续观测，给出 1994 年到 2002 年间 S2 的位置如图所示。科学家认为 S2 的运动轨迹是半长轴约为 1000 AU(太阳到地球的距离为 1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作

获

得了 2020 年诺贝尔物理学奖。若认为 S2 所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为 $ M $，可以推测出该黑洞的质量约为(B)


A.$ 4×10^{4}M $
B.$ 4×10^{6}M $
C.$ 4×10^{8}M $
D.$ 4×10^{10}M $

答案：
3.B 由万有引力提供向心力，有$\frac{GM_{中}m}{R^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}R$，整理得$\frac{R^{3}}{T^{2}} = \frac{GM_{中}}{4\pi^{2}}$，可知$\frac{R^{3}}{T^{2}}$只与中心天体的质量有关，则，已知$T_{地}=1$年，由题图可知恒星S2绕黑洞运动的周期$T_{S2}=2×(2002 - 1994)$年$ = 16$年，解得$M_{黑洞}=4×10^{6}M$，B正确.

4. [2025 天津南开月考]若宇航员在月球表面附近自高 $ h $ 处以初速度 $ v_{0} $ 水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为 $ L $，已知月球半径为 $ R $，万有引力常量为 $ G $，则下列说法正确的是(A)
建议用时：40 分钟 √答案 P26

A.月球表面的重力加速度 $ g_{月}=\frac{2hv_{0}^{2}}{L^{2}} $
B.月球的质量 $ m_{月}=\frac{hR^{2}v_{0}^{2}}{2GL^{2}} $
C.月球的自转周期 $ T=\frac{2\pi R}{v_{0}} $
D.月球的平均密度 $ \rho=\frac{3hv_{0}^{2}}{2\pi GL^{2}} $

答案： 4.A 根据平抛运动规律$L = v_{0}t$、$h = \frac{1}{2}g_{月}t^{2}$，联立解得$g_{月} = \frac{2hv_{0}^{2}}{L^{2}}$，A正确；根据万有引力与重力的关系$\frac{Gm_{月}m}{R^{2}} = mg_{月}$，解得$m_{月} = \frac{2hv_{0}^{2}R^{2}}{GL^{2}}$，B错误；$v_{0}$是小球做平抛运动的初速度，而非月球自转的线速度，C错误；月球的平均密度$\rho = \frac{m_{月}}{\frac{4}{3}\pi R^{3}} = \frac{3hv_{0}^{2}}{2\pi GL^{2}R}$，D错误.

5. [2025 河北保定模拟]天文爱好者通过望远镜观察到两颗相距较远的行星 $ A $、$ B $，并发现行星 $ A $ 有一颗绕其表面飞行的卫星，绕行周期为 $ T_{A} $，行星 $ B $ 有一颗绕行周期为 $ T_{B} $ 的卫星，其轨道半径是行星 $ B $ 半径的 2 倍。已知 $ \frac{T_{B}}{T_{A}}=2\sqrt{2} $，通过以上观测数据可求得两行星 $ A $、$ B $ 的平均密度之比为(A)

A.1
B.$ \frac{1}{8} $
C.8
D.$ 2\sqrt{2} $

答案： 5.A 对行星A根据万有引力提供向心力$\frac{GM_{A}m}{R_{A}^{2}} = m\frac{4\pi^{2}R_{A}}{T_{A}^{2}}$，解得$M_{A} = \frac{4\pi^{2}R_{A}^{3}}{GT_{A}^{2}}$，对行星B根据万有引力提供向心力$\frac{GM_{B}m}{(2R_{B})^{2}} = m\frac{4\pi^{2}·2R_{B}}{T_{B}^{2}}$，解得$M_{B} = \frac{32\pi^{2}R_{B}^{3}}{GT_{B}^{2}}$，根据密度公式$\rho = \frac{M}{V}$，其中$V = \frac{4}{3}\pi R^{3}$，可知两行星A、B的平均密度之比为$\frac{\rho_{A}}{\rho_{B}} = 1$，故A正确.

6. [2025 湖南常德月考]1789 年英国物理学家卡文迪什测出引力常量 $ G $，因此卡文迪什被称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为 $ G $，地球表面处的重力加速度为 $ g $，地球半径为 $ R $，地球上一个昼夜的时间为 $ T_{1} $(地球自转周期)，一年的时间为 $ T_{2} $(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离为 $ L_{1} $，地球中心到太阳中心的距离为 $ L_{2} $。下列说法不正确的是(C)

A.地球的质量 $ m_{地}=\frac{gR^{2}}{G} $
B.太阳的质量 $ m_{太}=\frac{4\pi^{2}L_{2}^{3}}{GT_{2}^{2}} $
C.月球的质量 $ m_{月}=\frac{4\pi^{2}L_{1}^{2}}{GT_{1}^{2}} $
D.由题中数据可求地球的密度

答案： 6.C 在地球表面，物体受到的重力与万有引力相等，则有$G\frac{m_{地}m}{R^{2}} = mg$，解得$m_{地} = \frac{gR^{2}}{G}$，则地球的密度为$\rho = \frac{m_{地}}{V} = \frac{3g}{4\pi GR}$，A、D正确；万有引力提供地球圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律可得$G\frac{m_{太}m_{地}}{L_{2}^{2}} = m_{地}(\frac{2\pi}{T_{2}})^{2}L_{2}$，解得$m_{太} = \frac{4\pi^{2}L_{2}^{3}}{GT_{2}^{2}}$，B正确；根据万有引力定律和圆周运动规律可知，只可求出中心天体的质量，而无法求出卫星的质量，由于月球绕地球运动，而月球的有关卫星的数据题目没有给出，故无法求出月球的质量，C错误.

7. 已知引力常量 $ G $，在下列给出的情景中，能根据测量数据求出月球密度的是(AB)

A.在月球表面使一个小球做自由落体运动，测出下落的高度 $ H $ 和时间 $ t $，再测出月球的直径 $ D $
B.发射一颗在月球表面绕月球做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运动的周期 $ T $
C.观察月球绕地球的圆周运动，测出月球的直径 $ D $ 和月球绕地球运动的周期 $ T $
D.发射一颗绕月球做匀速圆周运动的卫星，测出卫星离月球表面的高度 $ H $ 和卫星的周期 $ T $

答案： 7.AB 在月球表面使一个小球做自由落体运动，测出下落的高度$H$和时间$t$，根据$H = \frac{1}{2}gt^{2}$，可算出月球的重力加速度，再测出月球的直径$D$，根据$G\frac{Mm}{r^{2}} = mg$，可以算得月球的质量，根据$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi r^{3}}$，可算出密度，A正确；由万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，体积为$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$，密度为$\rho = \frac{M}{V}$，联立解得$\rho = \frac{3\pi}{GT^{2}}$，测出$T$就可算出密度，B正确；观察月球绕地球的圆周运动，测出月球的直径$D$和月球绕地球运行的周期$T$，无法算出月球质量，也就无法算出月球密度，C错误；测出卫星离月球表面的高度$H$和卫星的周期$T$，不能算出月球质量，也就无法算出月球密度，D错误.