《2025年小题狂做高中物理必修第二册人教版》

7. 如图所示，飞船在地面指挥控制中心的控制下，由近地点圆形轨道 $A$，经椭圆轨道 $B$ 转变到远地点的圆轨道 $C$。轨道 $A$ 与轨道 $B$ 相切于 $P$ 点，轨道 $B$ 与轨道 $C$ 相切于 $Q$ 点，下列说法正确的是(AC)

A.卫星在轨道 $B$ 上由 $P$ 向 $Q$ 运动的过程中速率越来越小
B.卫星在轨道 $C$ 上经过 $Q$ 点的速率大于在轨道 $A$ 上经过 $P$ 点的速率
C.卫星在轨道 $B$ 上经过 $P$ 点的加速度与在轨道 $A$ 上经过 $P$ 点的加速度是相等的
D.卫星在轨道 $B$ 上经过 $Q$ 点时的速率大于在轨道 $C$ 上经过 $Q$ 点时的速率

答案： 7. AC 根据开普勒第二定律，卫星在相等的时间内扫过的面积相等可知，卫星在轨道B上由P向Q运动的过程中速率越来越小，A正确；根据万有引力提供向心力，有$G \frac{Mm}{r^{2}} = m \frac{v^{2}}{r}$，轨道半径大则速度小，故卫星在轨道C上经过Q点的速率小于在轨道A上经过P点的速率，B错误；根据万有引力提供向心力，有$G \frac{Mm}{r^{2}} = ma$，加速度大小与万有引力大小有关，$r$相同，则$a$大小相同，与轨道无关，C正确；卫星要从椭圆轨道B变轨到圆轨道C，经过Q点时需要加速，所以卫星在轨道B上经过Q点时的速率小于在轨道C上经过Q点时的速率，D错误.
易错提醒 卫星变轨问题的三点提醒
(1)卫星在轨道上的变轨点的线速度$v$增大或减小，但向心加速度$a$不变.
(2)卫星在圆轨道上的由低轨道变轨至高轨道后，线速度$v$将减小，角速度$\omega$将减小，周期$T$将增大，向心加速度$a$将减小.
(3)卫星在椭圆轨道上由近地点运动至远地点，线速度$v$将减小，加速度$a$将减小.

8. [2025 河北石家庄月考]2025 年 1 月 16 日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比为 $3:2$，已知地球的质量为火星质量的 9 倍，火星的半径是地球半径的 0.5 倍，如图所示。根据以上信息可以得出(ABC)

A.火星与地球绕太阳公转的角速度之比为 $\frac{2\sqrt{6}}{9}$
B.当火星与地球相距最远时，太阳处于地球和火星之间
C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比为 $4:9$
D.下一次“火星冲日”将出现在 2026 年 1 月 16 日之前

答案： 8. ABC 火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为$3:2$，根据开普勒第三定律有$\frac{r_{火}^{3}}{r_{地}^{3}} = \frac{T_{火}^{2}}{T_{地}^{2}}$，可得$\frac{T_{火}}{T_{地}} = \sqrt{\frac{r_{火}^{3}}{r_{地}^{3}}} = \frac{3\sqrt{6}}{4}$，根据周期与角速度的关系$\omega = \frac{2\pi}{T}$，可得角速度之比为$\frac{\omega_{火}}{\omega_{地}} = \frac{T_{地}}{T_{火}} = \frac{2\sqrt{6}}{9}$，A正确；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，当火星与地球相距最远时，太阳处于地球和火星之间，B正确；在星球表面根据万有引力定律有$G \frac{Mm}{R^{2}} = mg$，可得火星与地球表面的自由落体加速度大小之比为$\frac{g_{火}}{g_{地}} = \frac{M_{火}}{M_{地}} · \frac{R_{地}^{2}}{R_{火}^{2}} = \frac{4}{9}$，C正确；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有$\omega_{火} = \frac{2\pi}{T_{火}}$、$\omega_{地} = \frac{2\pi}{T_{地}}$，要发生下一次火星冲日，则有$(\frac{2\pi}{T_{地}} - \frac{2\pi}{T_{火}}) · t = 2\pi$，解得$t = \frac{T_{火}T_{地}}{T_{火} - T_{地}} ＞ T_{地}$，下一次“火星冲日”将出现在2026年1月16日之后，D错误.

9. （新考法）[2025 重庆江北期中]假设一个双星系统中的两颗恒星 $a$、$b$ 绕 $O$ 点做圆周运动，观测者在双星系统外、与双星系统在同一平面上的 $A$ 点观测双星的运动，得到恒星 $a$、$b$ 到 $O$、$A$ 连线的垂直距离 $x$ 与观测时间的关系图像如图所示，引力常量为 $G$，求：
（1）$a$、$b$ 绕 $O$ 点做圆周运动线速度之比 $v_{a}:v_{b}$；
（2）$a$、$b$ 质量之比 $m_{a}:m_{b}$；
（3）$b$ 的质量 $m_{b}$。

答案： 9.
(1)双星系统中的两颗恒星$a$、$b$绕$O$点做圆周运动，两颗星体的角速度相同；由图像可知，该双星系统的周期为$2t_{0}$，$a$与轨迹中心间的距离为$4x_{0}$，$b$与轨迹中心间的距离为$3x_{0}$，可得$r_{a}:r_{b} = 4:3$，由线速度与角速度的关系$v = \omega r$可知，$a$、$b$的线速度之比为$v_{a}:v_{b} = 4:3$.
(2)双星靠相互间的万有引力提供向心力，两者向心力大小相等，则有$m_{a}\omega^{2}r_{a} = m_{b}\omega^{2}r_{b}$，可得$m_{a}:m_{b} = 3:4$.
(3)对$a$由万有引力提供向心力可知$m_{a} \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} r_{a} = G \frac{m_{b}m_{a}}{L^{2}}$，解得$m_{b} = \frac{196\pi^{2}x_{0}^{3}}{Gt_{0}^{2}}$.

10. （思维提升）[2025 河北模拟预测]“北斗”卫星导航系统是我国自主研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统。假设系统中有在同一轨道平面上同向运行的两颗地球卫星 $P$、$Q$，其对地张角分别为 $\alpha$、$\theta$，其中 $\alpha ＞ \theta$，如图所示。已知地球的半径为 $R$，地球表面的重力加速度为 $g$。求：
（1）卫星 $P$ 运行的线速度；
（2）两颗卫星相邻两次距离最近的时间间隔。

答案： 10.
(1)在地球表面有$G \frac{Mm}{R^{2}} = mg$，
根据几何关系可知，$P$的轨道半径为$r_{P} = \frac{R}{\sin \frac{\alpha}{2}}$，
卫星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有$G \frac{Mm}{r_{P}^{2}} = m \frac{v^{2}}{r_{P}}$，
解得$v = \sqrt{gR\sin(\frac{\alpha}{2})}$.
(2)$Q$的轨道半径为$r_{Q} = \frac{R}{\sin \frac{\theta}{2}}$，
卫星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有$G \frac{Mm}{r_{Q}^{2}} = m \frac{4\pi^{2}r_{Q}}{T_{Q}^{2}}$，$G \frac{Mm}{r_{P}^{2}} = m \frac{4\pi^{2}r_{P}}{T_{P}^{2}}$，
解得$T_{Q} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g\sin^{3}(\frac{\theta}{2})}}$，$T_{P} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g\sin^{3}(\frac{\alpha}{2})}}$
设两卫星相邻两次距离最近对应时间为$t$，则有$\frac{2\pi}{T_{P}}t - \frac{2\pi}{T_{Q}}t = 2\pi$，
解得$t = \frac{2\pi\sqrt{R}}{\sqrt{g}[\sqrt{\sin^{3}(\frac{\alpha}{2})} - \sqrt{\sin^{3}(\frac{\theta}{2})}]}$.