《2026年一本密卷高考物理》

16. (16分)(2025·山东省济南市高三二模)如图所示的$xOy$坐标平面内,$y＞0$的区域内存在着垂直于平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为$B$,$y＜0$的区域内存在着垂直于平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为$2B$。质量为$m$、电荷量为$q$的两个带正电粒子$a$和$b$,均以相同大小的速率$v$从$O$点分别沿$y$轴正向和$y$轴负向同时开始运动,运动过程中两粒子的碰撞为弹性碰撞,碰撞时间忽略不计。设整个磁场区域都处于真空中,不考虑粒子的重力及两粒子之间除碰撞外的相互作用,求:

(1)粒子分别在$y＞0$和$y＜0$的区域内运动时的半径之比和周期之比;
(2)两粒子运动轨迹交点的坐标;
(3)以两粒子在$O$点开始运动时为$t=0$时刻,求两粒子在运动过程中某时刻平行$y$轴方向上相距最远时的距离及对应的时刻。

答案：
16.解析：
(1)由洛伦兹力提供向心力可得$qvB = m\frac{v^2}{r}$，解得粒子在$y ＞ 0$和$y ＜ 0$区域内运动时的半径分别为$r_1 = \frac{mv}{qB}$，$r_2 = \frac{mv}{2qB}$，则$r_1 : r_2 = 2 : 1$由$T = \frac{2\pi r}{v}$解得粒子在$y ＞ 0$和$y ＜ 0$区域内运动时的周期分别为$T_1 = \frac{2\pi m}{qB}$，$T_2 = \frac{\pi m}{qB}$，则$T_1 : T_2 = 2 : 1$；
(2)由
(1)可得$r_1 = \frac{mv}{qB}$，$r_2 = \frac{mv}{2qB}$当$t = \frac{T_1 + T_2}{2}$两个粒子发生弹性碰撞，以竖直向上的方向为正方向，由动量守恒定律和能量守恒定律可得：$mv - mv = mv_1 - mv_2$，$\frac{1}{2}mv^2 × 2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2$，解得：$v_1 = v_2 = v$两粒子运动的部分轨迹如下图所示：
　
①$x$轴上：$x_1 = n(2r_1 + 2r_2) = \frac{3nmv}{qB}$，$n = 1,2,3·s$，坐标为$(\frac{3nmv}{qB},0)$，$n = 1,2,3·s$
②由对称性，可得$x_2 = r_1 + \frac{r_1}{2} + 3(n - 1)r_1 = \frac{(6n - 3)mv}{2qB}$，$n = 1,2,3·s$，$y_2 = \sqrt{r_1^2 - (\frac{r_1}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}mv}{2qB}$，坐标为$[\frac{(6n - 3)mv}{2qB}, \frac{\sqrt{3}mv}{2qB}]$，$n = 1,2,3·s$
(3)如图所示:
　　　　
在$t \leq \frac{T_2}{2}$内，设$y_1 = r_1 \sin \omega_1 t$，$y_2 = r_2 \sin \omega_2 t$，又$r_1 : r_2 = 2 : 1$，$\omega_1 : \omega_2 = 1 : 2$两粒子在运动过程中$y$轴方向的距离为$y = y_1 + y_2 = r_1 \sin \omega_1 t + \frac{1}{2}r_1 \sin 2\omega_1 t$对$y$求导可得导函数$y' = \omega_1 r_1(\cos \omega_1 t + \cos^2 \omega_1 t - 1)$，令$y' = 0$可得当$\omega_1 t_1 = \frac{\pi}{3}$，$t_1 = \frac{\pi m}{3qB}$时，$y$最大，同样在$\frac{T_1}{2} \leq t \leq \frac{T_1 + T_2}{2}$内$t_2 = \frac{T_1 + T_2}{2} - \frac{\pi m}{3qB} = \frac{7\pi m}{6qB}$时，$y$最大。由于周期性，当$t = \frac{\pi m}{3qB} + \frac{T_1 + T_2}{2}n = \frac{(9n + 2)\pi m}{6qB}$或$t = \frac{7\pi m}{6qB} + \frac{T_1 + T_2}{2}n = \frac{(9n + 7)\pi m}{6qB}$时$(n = 0,1,2,·s)$，$y_{\max} = \frac{3\sqrt{3}mv}{4qB}$。
答案：
(1)$2 : 1$，$2 : 1$　
(2)$(\frac{3nmv}{qB},0)$，$n = 1,2,3·s$；$[\frac{(6n - 3)mv}{2qB}, \frac{\sqrt{3}mv}{2qB}]$，$n = 1,2,3·s$　
(3)$\frac{3\sqrt{3}mv}{4qB}$，$\frac{(9n + 2)\pi m}{6qB}$，$(n = 0,1,2·s)$或$\frac{(9n + 7)\pi m}{6qB}$，$(n = 0,1,2·s)$