《2026年一本密卷高考物理》

16. (16分)(2025·四川省成都市高三三模)如图所示,在长度s=16m的水平传送带中央有两个小物块A、B,质量分别为m_A=2kg、m_B=3kg,两物块与传送带间的动摩擦因数均为μ=0.2,两物块中央夹有储存了15J能量的微小弹性装置(不计弹性装置的长度),在外力作用下两物块保持静止。竖直面内固定一半径R=1.25m的光滑1/4圆弧轨道,在最高点D与传送带平滑连接,E点位于水平地面上,水平地面足够长。若撤去对中央两物块的外力,弹性装置在较短时间内把两物块弹开,弹开两物块后,取走弹性装置并立即让传送带以v=6.2m/s的速度顺时针匀速转动。A物块落在水平地面上后不再运动,B物块每次与水平地面发生连续碰撞时,水平方向速度不变,竖直方向速度连续发生衰减。当B物块与地面发生第n次碰撞时,碰后瞬间竖直方向的速度大小$v_{ny}'$与第一次碰前瞬间竖直方向的速度大小$v_{1y}$满足关系式$v_{ny}'=1/[n(n+1)]·v_{1y}。$重力加速度g=10m/s²,忽略空气阻力,将物块视为质点。求:

(1)弹性装置把A、B物块弹开后瞬间两物块的速度大小$v_{A1}、$$v_{B1};$
(2)A、B物块第一次离开传送带的速度大小$v_{A2}、$$v_{B2}$以及B物块与传送带间因摩擦而产生的热量Q;
(3)在B物块与地面第n次碰撞时,A物块落点与E点的距离$x_{AE}$以及B物块落点与E点的距离$x_{BE}。$

答案： 16.解析：
(1)弹开物块过程，两物块组成的系统动量守恒，以向右由正方向，由动量守恒定律得$m_Av_{A1}-m_Bv_{B1}=0$，由能量守恒定律得$E_P=\frac{1}{2}m_Av_{A1}^2+\frac{1}{2}m_Bv_{B1}^2$，代入数据解得$v_{A1}=3m/s$，$v_{B1}=2m/s$；
(2)假设$A$一直匀加速到$D$点，对$A$，由动能定理得$\mu m_Ag×\frac{s}{2}=\frac{1}{2}m_Av_{A2}^2-\frac{1}{2}m_Av_{A1}^2$，代入数据解得$v_{A2}=\sqrt{41}m/s＞6.2m/s$，假设不成立，$A$应先匀加速到与传送带共速，共速后$v$做匀速直线运动到$D$点，即$v_{A2}=6.2m/s$，假设$B$经过$x$距离向左匀减速到速度为零，对$B$，由动能定理得一$\mu m_Bgx=0-\frac{1}{2}m_Bv_{B1}^2$，代入数据解得$x=1m＜\frac{s}{2}=\frac{16}{2}m=8m$，$B$没有从最左侧滑出，假设$B$之后一直匀加速到$D$点，由动能定理得$\mu m_Bg(x+\frac{s}{2})=\frac{1}{2}m_Bv_{B2}^2-0$，代入数据解得$v_{B2}=6m/s＜v=6.2m/s$，假设成立，即$v_{B2}=6m/s$，物块在传送带上运动过程，由动能定理得$\mu mg=ma$，代入数据解得$a=2m/s^2$
设经过$t_1$，$B$向左匀减速到速度为零，则$t_1=\frac{v_{B1}}{a}=\frac{2}{2}s=1s$，其中$\Delta x_1=x_{传1}+x_{B1}=vt_1+\frac{v_{B1}}{2}t_1=6.2×1m+\frac{2}{2}×1m=7.2m$，设经过$t_2$时间，$B$向右匀加速到速度为$v_{B2}$，则$t_2=\frac{v_{B2}}{a}=\frac{6}{2}s=3s$，其中$\Delta x_2=x_{传2}-x_{B2}=vt_2-\frac{v_{B2}}{2}t_2=6.2×3m-\frac{6}{2}×3m=9.6m$，$B$相对于传送带滑行的距离$\Delta x=\Delta x_1+\Delta x_2=7.2m+9.6m=16.8m$，物块$B$与传送带产生的热量$Q=\mu m_Bg\Delta x=0.2×3×10×16.8=100.8J$；
(3)若要物块从$D$点开始做平抛运动，由牛顿第二定律得$mg=m\frac{v_D^2}{R}$，代入数据解得$v_D=\sqrt{12.5}m/s＜v_{B2}＜v_{A2}$，$A$、$B$物块经$D$点后直接做平抛运动，$A$离开$D$后做平抛运动，竖直方向$R=\frac{1}{2}gt^2$，$x_{AE}=v_{A2}t -R$，代入数据解得$t=0.5s$，$x_{AE}=1.85m$，
$B$第一次落地时的竖直分速度$v_{1y}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×1.25}m/s=5m/s$，$B$平抛运动的时间$t=\frac{v_{1y}}{g}$，由题意可知$v_{ny}'=\frac{1}{n(n +1)}v_{1y}=(\frac{1}{n}-\frac{1}{n +1})v_{1y}$，第一次碰撞后瞬间$B$物块竖直方向速度大小为$v_{1y}'=(1-\frac{1}{2})v_{1y}$，第二次碰前瞬间$B$物块竖直方向速度大小为$v_{2y}=v_{1y}$
第一次碰撞到第二次碰撞的时间间隔为$\Delta t_1=\frac{2v_{1y}'}{g}$，整理得$\Delta t_1=2(1-\frac{1}{2})t$
$B$物块从$D$点开始平抛运动到第二次碰撞时的时间间隔为$t_2=t+\Delta t_1$
第二次碰撞后瞬间$B$物块竖直方向速度大小为$v_{2y}'=(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})v_{1y}$
第三次碰前瞬间$B$物块竖直方向速度大小为$v_{3y}=v_{2y}'$
第二次碰撞到第三次碰撞的时间间隔为$\Delta t_2=\frac{2v_{2y}'}{g}$，整理得$\Delta t_2=2(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})t$
$B$物块从$D$点开始平抛运动到第三次碰撞时的时间间隔为$t_2=t_1+\Delta t_2$，解得$t_2=t+2(1-\frac{1}{3})t$
$B$物块从$D$点开始平抛运动到第$n$次碰撞时的时间间隔为$t_n=t+2(1-\frac{1}{n})t=(3-\frac{2}{n})t$
则$x_{BE}=v_{B2}t_n-R=6×(3-\frac{2}{n})×0.5m-1.25m=7.75m-\frac{6}{n}m$。
答案：
(1)$3m/s$、$2m/s$
(2)$6.2m/s$、$6m/s$，$100.8J$
(3)$1.85m$，$7.75m-\frac{6}{n}m$